Câu 1 : Cho tam giác MNP vuông tại M, đường phân giác ND (D thuộc MP), kẻ DH vuông góc với NP.
a) Chứng minh: tam giác MND = tam giác HND;
b) Chứng minh: MN=HN
c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng MN và DH, I là trung điểm của KP.
Chứng minh: ba điểm N, D, I thẳng hàng.
a) Do ND là đường phân giác của ∆MNP (gt)
⇒ ∠MND = ∠PND
⇒ ∠MND = ∠HND
Xét hai tam giác vuông: ∆MND và ∆HND có:
ND là cạnh chung
∠MND = ∠HND (cmt)
⇒ ∆MND = ∆HND (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Do ∆MND = ∆HND (cmt)
⇒ MN = HN (hai cạnh tương ứng)
c) Do ∆MND = ∆HND (cmt)
⇒ MD = HD (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông: ∆DMK và ∆DHP có:
MD = HD (cmt)
∠MDK = ∠HDP (đối đỉnh)
⇒ ∆DMK = ∆DHP (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ MK = HP (hai cạnh tương ứng)
Lại có: MN = HN (cmt)
⇒ MK + MN = HP + HN
⇒ KN = PN
⇒ ∆NPK cân tại N
Do ∆MNP vuông tại M (gt)
⇒ PM ⊥ MN
⇒ PM ⊥ NK
⇒ PM là đường cao của ∆NPK
Lại có:
DH ⊥ NP (gt)
⇒ KH ⊥ NP
⇒ KH là đường cao thứ hai của ∆NPK
⇒ ND là đường cao thứ ba của ∆NPK
Mà ∆NPK cân tại N (cmt)
⇒ ND cũng là đường trung tuyến của ∆NPK
⇒ ND đi qua trung điểm của PK
Mà I là trung điểm của PK
⇒ N, D, I thẳng hàng