Question

[Nguyễn Ngọc Thùy Nga]

Tính các tổng sau :

a)     S₁ = 1 + 2 + 3 + … + n ;

b)    S₂ = 1² + 2² + 3² + … + n².

Answer 1

[Lê Tài Bảo Châu]

a) \(S_1=1+2+...+n\)

\(=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)

b) \(S_2=1^2+2^2+...+n^2\)

Ta co :

\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)

\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)

..................................................................................

\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)

Cộng từng vế n hằng đẳng thức trên ta được :

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^3=1^3+3.\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+3.\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3=1^3+3.S_2+3.S_1+n\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)^3-3S_1-\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)^3-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}-\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)^2-\frac{3n}{2}-1\right]\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1-\frac{3n}{2}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\left(n+1\right)n\left(n+\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+\left(n^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3S_2=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\text{​​}\right)\)

\(\Leftrightarrow S_2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\text{​​}\right)\)

Answer 2

[Lê Tài Bảo Châu]

Bỏ 3 dòng từ 2 dòng cuối trở lên nhé 

Tức là ko bỏ 2 dòng cuối mà bỏ 3 dòng trên 2 dòng cuối hộ