Question

[Thụy An]

Cho hình chóp S.ABCD, với đáy là hình vuông cạnh a, tâm O; SO vuông góc với (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) = \(60^o\). Tính sin góc giữa MN với (SBD).

Answer 1

[Akai Haruma]

Nguyễn Tú Khuê: hình bạn tự vẽ nhé -.-

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Lấy $H$ là trung điểm của $AC$. Dễ thấy $MH\parallel SO\Rightarrow MH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \angle (MN, (ABCD))=\widehat{MNH}=60^0$

Áp dụng định lý cos cho tam giác $CNH$ có:

$NH=\sqrt{CH^2+CN^2-2CH.CN.\cos \widehat{NCH}}$

\(=\sqrt{(\frac{3a\sqrt{2}}{4})^2+(\frac{a}{2})^2-2.\frac{3a\sqrt{2}}{4}.\frac{a}{2}.\cos 45^0}=a\sqrt{\frac{5}{8}}\)

\(MN=\frac{NH}{\cos 60^0}=2NH=2a\sqrt{\frac{5}{8}}\)

Kẻ $KT\parallel MH$ cắt $MN$ tại $T$

$\Rightarrow KT\parallel SO\Rightarrow KT\parallel (SBD)$

Mà $K\in BD$ nên $KT\subset (SBD)\Rightarrow T\in (SBD)$

Như vậy, $T$ chính là giao của $MN$ với $(SBD)$

Kẻ $NU\perp BD$. Thấy rằng $NU\perp BD, NU\perp TK$

$\Rightarrow NU\perp (SBD)$

$\Rightarrow \angle (MN, (SBD))=\widehat{UTN}$

$\Rightarrow \sin (MN, (SBD))=\sin \widehat{UTN}=\frac{UN}{TN}(1)$

Trong đó:

$UN=\frac{OC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}(2)$

$\triangle KHO\sim \triangle KNU\Rightarrow \frac{KH}{KN}=\frac{HO}{NU}=1\Rightarrow \frac{TM}{TN}=\frac{KH}{KN}=1\Rightarrow TN=\frac{MN}{2}=a\sqrt{\frac{5}{8}}(3)$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow \sin (MN,(SBD))$\(=\frac{a\sqrt{2}}{4.a\sqrt{\frac{5}{8}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)