Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} =[2\left( {n + 1} \right) - 1] - (2n - 1) = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - 2n + 1 = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\;\forall \;n \in {N^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = [- 3\left( {n + 1} \right) + 2] - (3n + 2) = - 3\left( {n + 1} \right) + 2 + 3n - 2 = - 3 < 0\;\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
c, Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{{{{( - 1)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0\\{u_2} = \frac{{{{( - 1)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} = - \frac{1}{4} < 0\\{u_3} = \frac{{{{( - 1)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0\\{u_4} = \frac{{{{( - 1)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} = - \frac{1}{{16}} < 0\\...\end{array}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2}}}{{n + 1}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^2}\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3} - 2{n^2}}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) với mọi n ∈ ℕ*.
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{{5^{n + 1}}}} - \frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{4}{5}.\frac{2}{{{5^n}}} = - \frac{8}{{{5^{n + 1}}}} < 0\)
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
\(u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}=\dfrac{3\cdot3^n-1}{2\cdot2^n}\)
Ta có:
\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3\cdot3^n-1}{2\cdot2^n}-\dfrac{3^n-1}{2^n}=\dfrac{3\cdot3^n-1-2\cdot3^n+2}{2\cdot2^n}=\dfrac{3^n+1}{2^{n+1}}>0\forall x\in N\)*
Do đó, \(u_{n+1}-u_n>0\Leftrightarrow u_{n+1}>u_n\)
Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
b) Ta có: \({x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}\)
Xét hiệu:
\({x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy \({x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm.
c) Ta có: \({t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} = - 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} = - 9\), suy ra \({t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}\). Vậy \(\left( {{t_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
b) Ta có: \({x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}\)
Xét hiệu:
\({x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy \({x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm.
c) Ta có: \({t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} = - 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} = - 9\), suy ra \({t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}\). Vậy \(\left( {{t_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.
Đáp án đúng là: D
Ta có: un+1 = 2n+1+1 = 2n+2
Xét hiệu un+1 – un = 2n+2 – 2n = 3.2n > 0 với mọi n ∈ ℕ*
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)a + 2}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{na + a + 2}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{na + a + 2}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{na + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{na + 2}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {na + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {na + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{n^2}a + na + 2n + na + a + 2} \right) - \left( {{n^2}a + 2n + 2na + 4} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2}a + na + 2n + na + a + 2 - {n^2}a - 2n - 2na - 4}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\end{array}\)
a) Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng thì:
\({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2\)
b) Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm thì:
\({u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow a - 2 < 0 \Leftrightarrow a < 2\)
Lời giải:
Với $n$ lẻ bất kỳ:
$u_n<0; u_{n+1>0; u_{n+2}< 0$
$\Rightarrow u_n< u_{n+1}> u_{n+2}$ với mọi $n$ lẻ bất kỳ
Do đó dãy không tăng cũng không giảm.
a) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
=> Dãy số là dãy số tăng
b) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 - 2n - 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { - 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
=> Dãy số là dãy số giảm
c) Xét:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ {\left( { - 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {2^n} - 1} \right]\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {2^{n + 1}} - 1 - {2^n} - 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {{3.2}^n} - 2} \right)\end{array}\)
=> Dãy số không tăng không giảm.