Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TK: Tìm Min (x^4 + 1) (y^4 + 1) với x + y = căn10 ; x , y > 0 - Thanh Truc
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng BĐT cosi cho \(x,y>0\)
\(M=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y\cdot\dfrac{1}{y}}=4\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=1\)
Mà \(x+y=2\le\dfrac{4}{3}\left(vô.lí\right)\) nên dấu \("="\) không xảy ra
Vậy M không có GTNN
\(P=\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{3y}=\dfrac{3}{x}+\dfrac{\dfrac{1}{3}}{y}\ge\dfrac{\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{x+y}=\dfrac{\dfrac{16}{3}}{\dfrac{4}{3}}=4\)
\(min_P=4\Leftrightarrow x=1;y=\dfrac{1}{3}\)
\(A=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
Áp dụng cô-si cho từng cặp là ok,,,,
Riêng cặp cuối \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2}\Leftrightarrow-\left(x+y\right)\ge-\sqrt{2}\)
Bài này nhiều bạn đăng rồi, vô lục câu hỏi của CTV Lê Tài Bảo Châu đó, kéo xuống là thấy.