Câu hỏi của Trần Hoàng Minh

Question

với x, y, z >0, chứng minh (x2 + 1)(y2 + 1)(z2 + 1) ≥$\dfrac{3}{4}$(x+y+z)2

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:$(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq (x+y+z)^2$$\Rightarrow \frac{3}{4}(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq \frac{3}{4}(x+y+z)^2$Giờ ta chỉ cần cm:$(y^2+1)(z^2+1)\geq \frac{3}{4}[1+(y+z)^2]$$\Leftrightarrow 4(y^2z^2+y^2+z^2+1)\geq 3(y^2+z^2+2yz+1)$$\Leftrightarrow 4y^2z^2+1+y^2+z^2-6yz\geq 0$$\Leftrightarrow (2yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)Do đó ta có đpcm Câu trả lời: Lời giải:Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:$(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq (x+y+z)^2$$\Rightarrow \frac{3}{4}(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq \frac{3}{4}(x+y+z)^2$Giờ ta chỉ cần cm:$(y^2+1)(z^2+1)\geq \frac{3}{4}[1+(y+z)^2]$$\Leftrightarrow 4(y^2z^2+y^2+z^2+1)\geq 3(y^2+z^2+2yz+1)$$\Leftrightarrow 4y^2z^2+1+y^2+z^2-6yz\geq 0$$\Leftrightarrow (2yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)Do đó ta có đpcm

Tạ Tài Đức · Answer

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

(�2+1)[1+(�+�)2]≥(�+�+�)2(x2+1)[1+(y+z)2]≥(x+y+z)2

⇒34(�2+1)[1+(�+�)2]≥34(�+�+�)2⇒43​(x2+1)[1+(y+z)2]≥43​(x+y+z)2
Giờ ta chỉ cần cm:

(�2+1)(�2+1)≥34[1+(�+�)2](y2+1)(z2+1)≥43​[1+(y+z)2]
⇔4(�2�2+�2+�2+1)≥3(�2+�2+2��+1)⇔4(y2z2+y2+z2+1)≥3(y2+z2+2yz+1)

⇔4�2�2+1+�2+�2−6��≥0⇔4y2z2+1+y2+z2−6yz≥0

⇔(2��−1)2+(�−�)2≥0⇔(2yz−1)2+(y−z)2≥0 (luôn đúng)

Do đó ta có điều phải chứng minhCâu trả lời: Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

(�2+1)[1+(�+�)2]≥(�+�+�)2(x2+1)[1+(y+z)2]≥(x+y+z)2

⇒34(�2+1)[1+(�+�)2]≥34(�+�+�)2⇒43​(x2+1)[1+(y+z)2]≥43​(x+y+z)2
Giờ ta chỉ cần cm:

(�2+1)(�2+1)≥34[1+(�+�)2](y2+1)(z2+1)≥43​[1+(y+z)2]
⇔4(�2�2+�2+�2+1)≥3(�2+�2+2��+1)⇔4(y2z2+y2+z2+1)≥3(y2+z2+2yz+1)

⇔4�2�2+1+�2+�2−6��≥0⇔4y2z2+1+y2+z2−6yz≥0

⇔(2��−1)2+(�−�)2≥0⇔(2yz−1)2+(y−z)2≥0 (luôn đúng)

Do đó ta có điều phải chứng minh

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP