Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2.
\(R=d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.2+4.\left(-1\right)-27\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\)
Phương trình: \(\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=25\)
3.
- Với \(m=1\) pt trở thành: \(2=0\) (vô nghiệm) \(\Rightarrow\) thỏa mãn
- Với \(m\ne1\) pt đã cho vô nghiệm khi:
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m\left(m-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(-m-1\right)< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>1\end{matrix}\right.\)
Vậy pt vô nghiệm khi: \(\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m\ge1\end{matrix}\right.\)
4. Đặt \(AB=x>0\)
\(tan35^0=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{BC}{x+10}\)
\(tan40^0=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{BC}{x}\)
\(\Rightarrow\dfrac{tan35^0}{tan40^0}=\dfrac{x}{x+10}\Leftrightarrow x.tan35^0+10tan35^0=x.tan40^0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{10.tan35^0}{tan40^0-tan35^0}\Rightarrow BC=x.tan40^0=\dfrac{10.tan35^0.tan40^0}{tan40^0-tan35^0}\approx42,3\left(m\right)\)
1.
a. \(\left|-x^2+x-4\right|>4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x^2+x-4>4\\-x^2+x-4< -4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x+8< 0\left(vô-nghiệm\right)\\x^2-x>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< 0\end{matrix}\right.\)
b. \(A=\dfrac{\left(cos^2x+sin^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+3sin^4x-1}{\left(1-cos^2x\right)\left(1+cos^2x\right)-3sin^4x}\)
\(=\dfrac{3sin^4x-3sin^2x.cos^2x}{sin^2x\left(1+cos^2x\right)-3sin^4x}=\dfrac{3sin^2x\left(sin^2x-cos^2x\right)}{sin^2x\left(1+1-sin^2x-3sin^2x\right)}\)
\(=\dfrac{-3sin^2x.cos2x}{sin^2x\left(2-4sin^2x\right)}=\dfrac{-3cos2x}{2cos2x}=-\dfrac{3}{2}\)
2.
a. \(\overrightarrow{AC}=\left(5;-3\right)\)
Đường cao BH vuông góc AC nên nhận (5;-3) là 1 vtpt
Phương trình BH:
\(5\left(x-1\right)-3\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow5x-3y-8=0\)
b.
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;3\right)\)
Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Phương trình trung trực BC (qua M và vuông góc BC) có dạng:
\(1\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+3\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+3y-3=0\)
Tâm I của đường tròn đồng thời nằm trên trung trực BC và \(\Delta\) nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+11=0\\x+3y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-3;2\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IB}=\left(4;3\right)\Rightarrow R^2=IB^2=25\)
Phương trình (C): \(\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25\)
1.a
\(\left|-x^2+x-4\right|>4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x^2+x-4>4\\-x^2+x-4< -4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x+8< 0\left(vô-nghiệm\right)\\x^2-x>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< 0\end{matrix}\right.\)
b.
\(sin2A+sin2B+sin2C=2sin\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)
\(=2sinC.cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)
\(=2sinC\left[cos\left(A-B\right)+cosC\right]=2sinC\left[cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)\right]\)
\(=2sinC.\left(-2sinA.sin\left(-B\right)\right)=4sinA.sinB.sinC\)
2.
\(\overrightarrow{AC}=\left(5;-3\right)\Rightarrow\) đường cao BH nhận (5;-3) là 1 vtpt
Phương trình BH:
\(5\left(x-1\right)-3\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow5x-3y-8=0\)
b.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow G\left(0;2\right)\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;3\right)\Rightarrow\) phương trình BC có dạng:
\(3\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4=0\)
\(R=d\left(G;BC\right)=\dfrac{\left|3.0-1.2-4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}\Rightarrow R^2=\dfrac{18}{5}\)
Phương trình: \(x^2+\left(y-2\right)^2=\dfrac{18}{5}\)
1a.
\(\left|x^2-4x-1\right|\ge1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4x-1\ge1\\x^2-4x-1\le-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4x-2\ge0\\x^2-4x\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2+\sqrt{6}\\x\le2-\sqrt{6}\\0\le x\le4\end{matrix}\right.\)
1b.
\(A=3\left(sin^4x-cos^4x\right)\left(sin^4x+cos^4x\right)+4cos^6x-8sin^6x+6sin^4x\)
\(=3\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^4x+cos^4x\right)+4cos^6x-2sin^6x+6sin^4x\left(1-sin^2x\right)\)
\(=3sin^6x-3cos^6x+3sin^2x.cos^4x-3sin^4x.cos^2x+4cos^6x-2sin^6x+6sin^4x.cos^2x\)
\(=sin^6x+3sin^2x.cos^4x+3sin^4x.cos^2x+cos^6x\)
\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3=1\)
2.
a. \(\overrightarrow{CB}=\left(6;-2\right)=2\left(3;-1\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(9;-3\right)=3\left(3;-1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow\) ba điểm A;B;C thẳng hàng
\(\Rightarrow\) Đề bài sai, không có tam giác nào ở đây và do đó đương nhiên không thể dựng được đường cao của ABC
b. Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Phương trình trung trực AB có dạng:
\(3\left(x-\dfrac{3}{2}\right)-1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4=0\)
Gọi I là tâm đường tròn \(\Rightarrow\) tọa độ I thỏa mãn:
\(3.6t-\left(1-2t\right)-4=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{4}\Rightarrow I\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\left(-\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2}\right)\Rightarrow R^2=IA^2=\dfrac{45}{2}\)
Phương trình: \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{45}{2}\)
1.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-5x< 6\\x^2-5x>-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-5x-6< 0\\x^2-5x+6>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x< 6\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< 2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< x< 2\\3< x< 6\end{matrix}\right.\)
2.
\(A=-3\left(cos^4x+sin^4x+2sin^2x.cos^2x-2sin^2xcos^2x\right)+2\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-6sin^2x.cos^2x.\left(sin^2x+cos^2x\right)\)
\(=-3\left(sin^2x+cos^2x\right)^2+6sin^2x.cos^2x+2-6sin^2x.cos^2x\)
\(=-3+2=-1\)
2.
\(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|1-1+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\)
Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IH\perp AB\)
\(\Rightarrow IH=d\left(I;d\right)\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(IA^2=IH^2+AH^2\Leftrightarrow R^2=IH^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow R^2=3\)
Phương trình (C):
\(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=3\)
3.
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=4\)
Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\)
\(S_{IMN}=\dfrac{1}{2}IN.IM.sin\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{MIN}\)
\(\Rightarrow S_{max}\) khi \(sin\widehat{MIN}\) đạt max
Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow MN\ge2\sqrt{R^2-IA^2}=2\sqrt{14}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{MIN}=\dfrac{IM^2+IN^2-MN^2}{2IM.IN}=\dfrac{2R^2-MN^2}{2R^2}\le\dfrac{2.4^2-4.14}{2.4^2}=-\dfrac{3}{4}< 0\)
\(\Rightarrow180^0\le\widehat{MIN}< 90^0\)
\(\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) nghịch biến \(\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) đạt GTLN khi \(\widehat{MIN}\) đạt GTNN
\(\Rightarrow\widehat{MIH}=\dfrac{1}{2}\widehat{MIN}\) đạt GTNN
Do \(180^0\le\widehat{MIN}< 90^0\Rightarrow90^0\le\widehat{MIH}< 45^0\)
\(\Rightarrow sin\widehat{MIH}\) đồng biến \(\Rightarrow\widehat{MIH}\) đạt GTNN khi \(sin\widehat{MIH}\) đạt GTNN
\(sin\widehat{MIH}=\dfrac{MH}{IM}=\dfrac{MN}{2R}\ge\dfrac{\sqrt{14}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi H trùng A
\(\Rightarrow d\perp IA\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-2\right)-1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x-y-2=0\)
1a.
\(\left|1-3x\right|< 5\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-3x>-5\\1-3x< 5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 2\\x>-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{4}{3}< x< 2\)
b.
\(A=2sin^2x-1-cosx\left(\sqrt{2}sinx-1\right)\)
\(=\left(\sqrt{2}sinx-1\right)\left(\sqrt{2}sinx+1\right)-cosx\left(\sqrt{2}sinx-1\right)\)
\(=\left(\sqrt{2}sinx-1\right)\left(\sqrt{2}sinx+1-cosx\right)\)
2.
\(\overrightarrow{AB}=\left(3;2\right)\Rightarrow\) đường cao CH nhận (3;2) là 1 vtpt
Phương trình CH:
\(3\left(x-8\right)+2\left(y+11\right)=0\Leftrightarrow3x+2y-2=0\)
b. GỌi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow G\left(1;-1\right)\)
Phương trình AB:
\(2\left(x+4\right)-3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-3y+17=0\)
\(R=d\left(G;AB\right)=\dfrac{\left|2.1-3\left(-1\right)+17\right|}{\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{22}{\sqrt{13}}\)
Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=\dfrac{484}{13}\)
