Question

[Minz Ank]

Trong dãy số 1,2,3,...,1990 , có thể chọn được nhiều nhất bao nhiêu số để tổng 2 số bất kì được chọn chia hết cho 38?

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

TH1: trong tập lấy ra có một số chia hết cho \(38\). Dễ thấy tất cả các số còn lại cũng phải chia hết cho \(38\). Khi đó số phần tử tối đa của tập là số số chia hết cho \(38\)trong dãy số đã cho. Có \(1990=52.38+14\)nên có tối đa \(52\)phần tử. 

TH2: trong tập lấy ra không có số nào chia hết cho \(38\). Khi đó, số dư của tất cả các phần tử trong tập đều bằng nhau và bằng \(\frac{38}{2}=19\). 

Thật vậy, nếu số phần tử của tập ít hơn \(3\), thì TH1 sẽ là trường hợp thỏa yêu cầu bài toán. 

Nếu số phần tử của tập không nhỏ hơn \(3\). Chọn \(3\)số bất kì trong đó, gọi số dư của ba số đó khi chia cho \(38\)lần lượt là \(a,b,c\). 

Ta có: \(a+b=b+c=c+a=38\Rightarrow a=b=c=19\). 

Giờ ta sẽ tính số số trong dãy số đã cho chia \(38\)dư \(19\). 

Có \(1990-19=51.38+33\)suy ra có tối đa \(52\)phần tử. 

Vậy cả \(2\)trường hợp ta đều có có thể chọn ra tập có tối đa \(52\)phần tử.