Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})=(a^2+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{2})(b^2+\frac{1}{4}+a+\frac{1}{2})\)
\(\geq (a+b+\frac{1}{2})(b+a+\frac{1}{2})\)
\(\Leftrightarrow 4ab+a+b+\frac{1}{4}\geq a^2+b^2+a+b+2ab+\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2\leq 0\)
Mà $(a-b)^2\geq 0, \forall a,b>0$
Do đó $(a-b)^2=0$
$\Rightarrow a=b$
Dấu "=" xảy ra khi $a^2=b^2=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}$ (do $a,b>0$)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\left(a^2+b+\frac{3}{4}\right)\left(b^2+a+\frac{3}{4}\right)=\left(a^2+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{2}\right)\left(b^2+\frac{1}{4}+a+\frac{1}{2}\right)\ge\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\left(b+a+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\left(a+b+\frac{1}{2}\right)^2=\left(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\right)^2\ge4\left(a+\frac{1}{4}\right)\left(b+\frac{1}{4}\right)\)
\(=\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(2b+\frac{1}{2}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
M=(\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)-1): \(\frac{-1}{x+\sqrt{x}+1}\)
M=\(\frac{-1}{\sqrt{x}+1}\). -(x+\(\sqrt{x}\)+1)
M=\(\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)
b, x=1
M = \(\frac{3}{2}\)
c, M= 0
=> x +\(\sqrt{x}\)+1= 0
mặt khác x+\(\sqrt{x}\)+1 = (\(\sqrt{x}\)+0,5)2+0,75 >0
=> x vô nghiệm........
a/ Điều kiện \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne\frac{1}{9}\end{cases}}\) \(\Rightarrow0\le a\ne\frac{1}{9}\)
b/ \(M=\left(\frac{2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}-2}{1-3\sqrt{a}}-\frac{5\sqrt{a}+3}{9a-1}\right):\left(a-\frac{2\sqrt{a}-6}{3\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\frac{2\sqrt{a}\left(1-3\sqrt{a}\right)+\left(\sqrt{a}-2\right)\left(1+3\sqrt{a}\right)+5\sqrt{a}+3}{\left(1-3\sqrt{a}\right)\left(1+3\sqrt{a}\right)}:\left(\frac{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}{3\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\frac{2\sqrt{a}-6a+\sqrt{a}+3a-2-6\sqrt{a}+5\sqrt{a}+3}{\left(1-3\sqrt{a}\right)\left(1+3\sqrt{a}\right)}.\left(\frac{3\sqrt{a}-1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\right)\)
\(=\frac{3a-2\sqrt{a}-1}{1+3\sqrt{a}}.\frac{1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\)
\(=\frac{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{1+3\sqrt{a}}.\frac{1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-1}{3a\sqrt{a}-2\sqrt{a}+6-a}\)
Hình như đề sai rồi bạn :(
a/ Điều kiện xác định : \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne9\end{cases}\Leftrightarrow}0\le a\ne9\)
b/ \(M=\left(\frac{2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}-2}{1-3\sqrt{a}}-\frac{5\sqrt{a}+3}{9a-1}\right):\left(1-\frac{2\sqrt{a}-6}{3\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\frac{2\sqrt{a}\left(3\sqrt{a}-1\right)+\left(2-\sqrt{a}\right)\left(3\sqrt{a}+1\right)-5\sqrt{a}-3}{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(3\sqrt{a}-1\right)}:\frac{\sqrt{a}+5}{3\sqrt{a}-1}\)
\(=\frac{6a-2\sqrt{a}+6\sqrt{a}+2-3a-\sqrt{a}-5\sqrt{a}-3}{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(3\sqrt{a}-1\right)}.\frac{3\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+5}\)
\(=\frac{3a-2\sqrt{a}-1}{3\sqrt{a}+1}.\frac{1}{\sqrt{a}+5}\)
\(=\frac{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+5\right)}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+5}\)
c/ \(a=9-4\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}-2\right)^2\) thay vào M được
\(\frac{\sqrt{5}-2-1}{\sqrt{5}-2+5}=\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+3}=\frac{-7+3\sqrt{5}}{2}\)
d/ \(M=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+5}=\frac{\sqrt{a}+5-6}{\sqrt{a}+5}=1-\frac{6}{\sqrt{a}+5}\)
Với mọi \(0\le a\ne9\) thì ta luôn có \(\sqrt{a}+5\ge5\Leftrightarrow\frac{6}{\sqrt{a}+5}\le\frac{6}{5}\Leftrightarrow-\frac{6}{\sqrt{a}+5}\ge-\frac{6}{5}\Leftrightarrow1-\frac{6}{\sqrt{a}+5}\ge1-\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow M\ge-\frac{1}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng \(-\frac{1}{5}\) khi a = 0
Bài 1
Ta có \(\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^2}\)
Tương tự như trên ta được
S = 1+1/2-1/3+1+1/3-1/4+...+1+1/99-1/100
= 98 + 1/2 - 1/100
= 9849/100