Question

[Cự Giải Ngây Thơ]

TÌM TẤT CẢ CÁC SỐ TỰ NHIÊN n SAO CHO SỐ   2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ  LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Answer 1

[Lê Đức Huy]

Đặt A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = (2⁴)².(1 + 8 + 2^n-8) = (2⁴)².(9 + 2^2n-8) 
Để A là SCP thì (9 + 2^n-8) phải là SCP 
Đặt k² = 9 + 2^2n-8 
=> k² - 3² = 2^n-8
=> (k - 3)(k + 3) = 2^n-8 (*) 
Xét hiệu (k - 3) - (k + 3) = 6 
=> k - 3 và k + 3 là các lũy thừa của 2 và có hiệu là 6 
=> k + 3 = 8 và k - 3 = 2 
=> k = 5; thay vào (*) ta có: 2.3 = 2^n-8
=> n = 12 
Thử lại ta có 2⁸ + 2¹¹ + 2¹² = 80² (đúng)