Question

[Rin Trương]

Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(m^3+n^3+15mn=125\)

Answer 1

[Không Tên]

do mk ko là dân toán nên cx không chắc là đúng, sai đâu mog mn bỏ qua

\(m^3+n^3+15mn=125\)

<=>  \(m^3+n^3-125+15mn=0\)

<=>  \(\left(m+n\right)^3-3mn\left(m+n\right)-5^3+15mn=0\)

<=>  \(\left(m+n-5\right)\left[\left(m+n\right)^2+5\left(m+n\right)+5^2\right]-3mn\left(m+n-5\right)=0\)

<=>  \(\left(m+n-5\right)\left(m^2+n^2+5m+5n-mn+25\right)=0\)

TH1:  \(m+n-5=0\)

<=>  \(m+n=5\)

bạn làm tiếp nhé

TH2:  \(m^2+n^2-mn+5\left(m+n\right)+25=0\)

Áp dụng AM-GM ta có:

\(m^2+n^2-mn\ge2\sqrt{m^2.n^2}-mn=2mn-mn=mn\)

Khi đó: 

 \(m^2+n^2-mn+5\left(m+n\right)+25\)

\(\ge mn+5\left(m+n\right)+25\)

Do m,n là các số nguyên dương nên:   \(mn+5\left(m+n\right)+25\ge25\)

=> trường hợp này vô lí