Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(N=12n^2-5n-25=\left(3n-5\right)\left(4n+5\right)\)
Do n tự nhiên nên \(\left(4n+5\right)-\left(3n-5\right)=n+10>0\Rightarrow4n+5>3n-5\)
N luôn có ít nhất 2 ước số phân biệt là \(3n-5\) và \(4n+5\)
\(\Rightarrow\) N nguyên tố khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}3n-5=1\\4n+5\text{ là số nguyên tố}\end{matrix}\right.\)
\(3n-5=1\Rightarrow n=2\)
Khi đó \(4n+5=13\) là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy \(n=2\)
1: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)
\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;4;2;-2;-1;-4\right\}\)
\(\Leftrightarrow3n\in\left\{0;3;-3\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;1;-1\right\}\)
Ta có: \(\frac{4n^3+11n^2+5n+5}{n+2}=\frac{\left(n+2\right)\left(4n^2+3n-1\right)+7}{n+2}=4n^2+3n-1+\frac{7}{n+2}\)
Để 4n3 + 11n2 + 5n + 5 chia hết cho n + 2 thì \(\frac{7}{n+2}\inℤ\Rightarrow7⋮n+2\Rightarrow n+2\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)
Ta lập bảng giá trị:
\(n+2\) | \(1\) | \(-1\) | \(7\) | \(-7\) |
\(n\) | \(-1\) | \(-3\) | \(5\) | \(-9\) |
Vậy \(n\in\left\{-1;-3;5;-9\right\}\)thì 4n3 + 11n2 + 5n + 5 chia hết cho n + 2
a) \(A=12n^2-5n-25\)
\(=12n^2+15n-20n-25\)
\(=3n\left(4n+5\right)-5\left(4n+5\right)\)
\(=\left(3n-5\right)\left(4n+5\right)\)
Do số nguyên tố khi phân tích thành nhân tử bao giờ cũng chỉ gồm 1 và chính nó
nên A là số nguyên tố thì: \(\orbr{\begin{cases}3n-5=1\\4n+5=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-1\end{cases}}\)
do n là số tự nhiên nên \(n=2\)
thử lại: n=2 thì A = 13 là số nguyên tố
Vậy n = 2
b) \(B=8n^2+10n+3\)
\(=8n+6n+4n+3\)
\(=2n\left(4n+3\right)+\left(4n+3\right)\)
\(=\left(2n+1\right)\left(4n+3\right)\)
Để B là số nguyên tố thì: \(\orbr{\begin{cases}2n+1=1\\4n+3=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}n=0\\n=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Do n là số tự nhiên nên n = 0
Thử lại: \(n=0\)thì \(B=3\)là số nguyên tố
Vậy \(n=0\)
Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)
Để M là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 + 1 = (2k -1)2 (k \(\in\) N)
<=> 12n2 + 1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k - 1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3
TH1 : k ⋮ 3 => n2 =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1) Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x2 => k = 3x2
và đặt k - 1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 + 1 = 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1
TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :
=> n2 = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\) Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z2
=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> M là một số chính phương ( đpcm )
\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)
\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)
\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)
TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)
Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)
Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)
Ta có đpcm
TH2(tương tự):\(k=3q+1\)
11n^3+12n^2+12n+20=11n(n^2+1)+12(n^2+1)+(n+8)=(n^2+1)(11n+12)+(n+8)=B
De B chia het cho n^2+1 thi n+8 chia het cho n^2+1
suy ra (n-8)(n+8)chia het cho n^2+1 do n la so tu nhien
suy ra n^2-64 chia het cho n^2+1
suy ra n^2+1-65 chia het cho n^2+1
suy ra 65 chia het cho n^2+1
suy ra n^2+1 thuoc uoc cua 65 la :1;5;13;65
suy ra n^2=64 ; n=8 do n^2 la so chinh phuong
n=8 lmj đc....
n=-8 :( ms đc nhưng mak n thuộc N .. bài này cứ lms ý