N
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 1 2020
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c+d=x>0\\a+c+d=y>0\\a+b+d=z>0\end{cases}}\)và \(a+b+c=t>0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z+t-2x}{3}\\b=\frac{x+z+t-2y}{3}\\c=\frac{x+y+t-2z}{3}\end{cases}}\)và \(d=\frac{x+y+z-2t}{3}\)
Từ đó ta có:\(Q=\frac{y+z+t-2x}{3x}+\frac{x+z+t-2y}{3y}+\frac{x+y+t-2z}{3z}+\frac{x+y+z-2t}{3t}\)
\(=\frac{y}{3x}+\frac{z}{3x}+\frac{t}{3x}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3y}+\frac{z}{3y}+\frac{t}{3y}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3z}+\frac{y}{3z}+\frac{t}{3z}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3t}+\frac{y}{3t}+\frac{z}{3t}-\frac{2}{3}\)
\(=\left(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\right)+\left(\frac{z}{3x}+\frac{x}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3x}+\frac{x}{3t}\right)+\left(\frac{z}{3y}+\frac{y}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3y}+\frac{y}{3t}\right)+\left(\frac{t}{3z}+\frac{z}{3t}\right)-\frac{8}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được:
\(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\ge2\sqrt{\frac{y}{3x}.\frac{x}{3y}}=\frac{2}{3}\)
CMTT \(\Rightarrow Q\ge\frac{4}{3}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
PN
3 tháng 1 2016
Ta có:
\(\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{a+c+d}+1=\frac{c}{a+b+d}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Vì \(a+b+c+d\ne0\) nên \(a=b=c=d\)
Do đó: \(M=4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
24 tháng 3 2020
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{b+d+a}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\)
Cộng vế với vế (3);(4);(5);(6) ta có:
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
TL
Trịnh Long
CTVVIP
24 tháng 3 2020
Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b
A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d
A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)
Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:
A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d
A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d
A < 2
Từ (1) và (2) => đpcm
nguồn:soyeon_Tiểubàng giải
DT
0
Đề bài chưa cho điều kiện kìa
Cộng 1 vào mỗi phân thức
Sau đó dùng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với a;b>0