Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x+2y+1=a\)
\(P=a^2+\left(a+4\right)^2=2a^2+8a+16=2\left(a+2\right)^2+8\ge8\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2A=2x^2y^2(x^2+y^2)=xy.[2xy(x^2+y^2)]\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2.\left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2$
$\Leftrightarrow 2A\leq \frac{(x+y)^6}{16}=\frac{1}{16}$
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{32}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{32}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)\le\frac{1}{4}\left(x^2-y^2+1-x^2y^2\right)^2=\frac{1}{4}\left(1-y^2\right)^2\left(1+x^2\right)^2\)
\(P\le\frac{1}{4}\frac{\left(1-y^2\right)^2}{\left(1+y^2\right)^2}\)
mà theo BĐT AM-GM:\(\left(1-y\right)\left(1+y\right)\le\frac{1}{4}\left(1-y+1+y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{4}.\frac{1}{\left(1+y^2\right)^2}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{1}=\frac{1}{4}\)
Dấu = xảy ra khi x=1;y=0 wait : có gì đó sai sai. số thực
Tìm giá trị lớn nhất: Áp dụng \(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\)được: \(A\le\left|x\right|+\sqrt{2}+\left|y\right|+1=6+\sqrt{2}\)
Max A = \(6+\sqrt{2}\)khi chẳng hạn x=-2,y=-3
Tìm giá trị nhỏ nhất: Áp dụng \(\left|a-b\right|\ge\left|a\right|-\left|b\right|\)được: \(A\ge\left|x\right|-\sqrt{2}+\left|y\right|-1=4-\sqrt{2}\)
Min A=\(4-\sqrt{2}\)khi chẳng hạn x=2,y=3
Ap dung \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(A\ge\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x}{y}+\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{y}{x}+\frac{x}{y}.\frac{y}{x}\)
\(\ge\frac{2x^2}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+1\ge2+1=3\)
Dau "=" xay ra \(\Leftrightarrow x=\pm y\)
A\(=\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\)
\(=\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2y^2}\)
\(=\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}\ge2+\frac{\left(2xy\right)^2}{4x^2y^2}=3\) ( cô si)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2=y^2\\\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=y^2\\16x^2y^2=\left(x^2+y^2\right)^4\end{cases}}\)<=> x = y hoặc x = -y
Vậy minA = 3 tại x = y hoặc x = -y
Từ giả thiếu suy ra: (x2+y2)2-4(x2+y2)+3=-x2 =<0
Do đó: A2-4A+3 =<0
<=> (A-1)(A-3) =<0
<=> 1 =<A=<3
Vậy MinA=1 <=> x=0; y=\(\pm\)1
MaxA=3 <=> x=0; y=\(\pm\sqrt{3}\)