K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2018

Lời giải:

Nếu $p^2+pq+q^2$ là lũy thừa cơ số $3$, ta viết dưới dạng phương trình:

\(p^2+pq+q^2=3^t\) với $t$ là số tự nhiên. Vì \(p,q\in\mathbb{P}\Rightarrow t>2\)

Ta có:

\(3^t=p^2+pq+q^2=(p-q)^2+3pq\)

\(\Rightarrow (p-q)^2=3^t-3pq\vdots 3\) \(\Rightarrow p-q\vdots 3\). Do đó $p,q$ có cùng số dư khi chia cho $3$

TH1: \(p\equiv q\equiv 0\pmod 3\Rightarrow p,q\vdots 3\Rightarrow p=q=3\)

Thử lại có: \(3^t=27\Leftrightarrow t=3\) (thỏa mãn)

TH2: \(p\equiv q\equiv 1\pmod 3\). Đặt \(p=3k+1, q=3m+1\)

\(3^t=p^2+pq+q^2=(3k+1)^2+(3k+1)(3m+1)+(3m+1)^2\)

\(\Leftrightarrow 3^t=9(k^2+m^2+m+k+km)+3\) chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$ , điều này vô lý vì \(t>2\Rightarrow 3^t\vdots 9\)

TH3: \(p\equiv q\equiv 2\pmod 3\Rightarrow p=3k+2, q=3m+2\)

\(3^t=p^2+pq+q^2=(3k+2)^2+(3k+2)(3m+2)+(3m+2)^2\)

\(\Leftrightarrow 3^t=9(k^2+m^2+2m+2k+km+1)+3\) chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$, điều này vô lý vì với $t>2$ thì $3^t$ chia hết cho $9$

Do đó \(p=q=3\)

27 tháng 3 2020

Bài 1 : 

Phương trình <=> 2x . x2 = ( 3y + 1 ) + 15

Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)

( Vì số  chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 ) 

\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)

Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)

Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2k . 2k + 3y + 1 > 2k .2k - 3y-1>0

Vậy ta có các trường hợp: 

\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)

\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)

Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 ) 

27 tháng 3 2020

Bài 3: 

Giả sử \(5^p-2^p=a^m\)    \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)

Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)

Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)

Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có

\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\)    \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)

Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)

\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)

Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)

Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý

\(\rightarrowĐPCM\)

12 tháng 8 2020

phải là tìm các số x,y,z thỏa mãn chứ bạn

12 tháng 8 2020

VÌ:    \(x^3+y^3+1-3xy=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2+1-xy-x-y\right)\)

Do:    \(x^3+y^3+1-3xy\)   là 1 số nguyên tố

=>   \(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2+1-xy-x-y\right)\)    là 1 số nguyên tố.

Do:   \(x+y+1>1\left(x,y\inℕ^∗\right)\)

=>   \(x^2+y^2-xy-x-y+1=1\)

<=> \(2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=2\)

<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\)

Do:   \(\left(x-y\right)^2;\left(x-1\right)^2;\left(y-1\right)^2\)    đều là các số chính phương.

=> Ta xét 3 trường hợp sau: 

\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=1\\\left(y-1\right)^2=1\end{cases}}\)   ;     \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=1\end{cases}}\)    ;       \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(x-1\right)^2=1\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\)

Do: x; y thuộc N* 

=> vs TH1 được: \(x=y=2\)

THỬ LẠI THÌ: \(x^3+y^3+1-3xy=8+8+1-12=5\)       (CHỌN)

TH2; TH3 tương tự ra       \(x=1;y=2\)   và     \(x=2;y=1\)

THỬ LẠI        \(\orbr{\begin{cases}x^3+y^3+1-3xy=1^3+2^3+1-3.1.2=4\\x^3+y^3+1-3xy=2^3+1^3+1-3.2.1=4\end{cases}}\)             (ĐỀU LOẠI HẾT).

VẬY \(x=y=2\)     là nghiệm duy nhất.