Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$
Nếu $a,b,c$ đều là số nguyên tố lẻ thì $a^2+b^2+c^2$ là số lẻ. Mà $5070$ chẵn nên vô lý.
Do đó trong 3 số $a,b,c$ tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
Số nguyên tố chẵn luôn là số bé nhất (2) nên $a=2$
Khi đó: $b^2+c^2=5070-a^2=5066\geq 2b^2$
$\Rightarrow b^2\leq 2533$
$\Rightarrow b< 51$
$\Rightarrow b\in \left\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47\right\}$
Thử các TH này ta thấy $(b,c)=(5,71), (29,65)$
Vậy $(a,b,c)=(2,5,71), (2,29,65)$ và các hoán vị.
vì 5070 là số chẵn ⇒ một trong 3 số a,b,c chẵn hoặc cả 3 số a,b,c chẵn
+) cả 3 số a,b,c chẵn
=> a=2, b=2, c=2 ( vì a,b,c là các số nguyên tố )
khi đó: a2+b2+c2= 12(loại)
=> một trong 3 số a,b,c chẵn
vì giá trị các số bằng nhau, giả sử a chẵn => a=2
khi đó: a2+b2+c2= 4+b2+c2
=> b2+c2= 5066
vì số chính phương có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 mà b2 và c2 là số chính phương có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
=> b2 và c2 có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
Mà b và c lẻ
=> b2 và c2 có tận cùng là 1, 5, 9
mà 5066 có tận cùng là 6
=> b2 và c2 có tận cùng là 1, 5
=> b và c có tận cùng là 1, 5
giả sử b có tận cùng là 5=> b=5
khi đó: 25+ c2 = 5066
c2 = 5041=712
=> c = 71
vậy, a=2, b=5, c=71 và các hoán vị của nó
Xét tổng Nếu cả 7 số đều lẻ thì tổng của chúng là số lẻ và do đó khác 0 Suy ra có ít nhất một trong 7 số là số chẵn |
là số chẵn
Số chính phương khi chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1.
Trường hợp 1:
\(a^2\equiv1\left(mod3\right);b^2\equiv0\left(mod3\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\equiv1\left(mod3\right)\)(loại)
Trường hợp 2:
\(a^2\equiv1\left(mod\right)3;b^2\equiv1\left(mod3\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\equiv2\left(mod3\right)\)(loại)
Trường hợp 3:
\(a^2\equiv0\left(mod3\right);b^2\equiv0\left(mod3\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\equiv0\left(mod3\right)\) ( thỏa mãn )
Vậy có đpcm.
Giải:
Giả sử a không ⋮ 3 ➩ b không ⋮ 3
➩\(a^2 - 1 + b^2-1\) ⋮ 3
Mà \(a^2 +b^2\)➩2⋮ 3 (không có thể)
Vậy ➩a và b ⋮ 3.
Nếu a;b;c cùng lẻ \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\) lẻ, mà 1386 chẵn nên ko thỏa mãn
\(\Rightarrow\) Trong 3 số a;b;c phải có ít nhất 1 số chẵn, không mất tính tổng quát, giả sử c chẵn. Mà c là số nguyên tố \(\Rightarrow c=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+4=1398\Rightarrow a^2+b^2=1394\)
Mặt khác một số chính phương chia 5 chỉ có các số dư 0,1,4
Mà \(1394\) chia 5 dư 4 \(\Rightarrow a^2+b^2\) chia 5 dư 4
\(\Rightarrow\) Trong 2 số \(a^2\) và \(b^2\) một số chia 5 dư 0, một số chia 5 dư 4
Hay trong 2 số a và b phải có 1 số chia hết cho 5
Giả sử b chia hết cho 5 \(\Rightarrow b=5\)
\(\Rightarrow a^2+25=1394\Rightarrow a=37\)
Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(37;5;2\right);\left(37;2;5\right);\left(2;5;37\right);\left(2;37;5\right);\left(5;2;37\right);\left(5;37;2\right)\)
Bài giải : Giả sử a < b < c, ta xét 3 trường hợp như sau :
TH1: Nếu a = 2; b =3; c = 5 thì a2 + b2 + c2 = 38 ( không phải số nguyên tố ) (1)
TH2: Nếu a = 3; b = 5; c = 7 thì a2 + b2 + c2 = 83 ( thỏa mãn yêu cầu của đề bài ) ( 2)
TH3: Nếu a,b,c > 3 => a,b,c không chia hết đc cho 3
=> a2 = 1(mod3); b2 = 1(mod3); c2 = 1(mod3) => a2 + b2 + c2 = 3(mod3) a2 + b2 + c2 chia hết cho 3 (3)
=> Kết luận: Từ (1);(2);(3) ta có thể suy ra chỉ có duy nhất là 3 số là ta cần tìm - thỏa mãn yêu cầu của đề bài là: 3,5 và 7 .
Nếu a = 2; b = 2 => c = 22 + 1 = 5 (Chọn)
Nếu a > 3 thì ab lẻ => ab + 1 là số chẵn => c chẵn Mà c là số nguyên tố => không có số nguyên tố thỏa mãn
Vậy a = b = 2 ; c = 5
Ta có:ab+1=c
=>ab=c-1
*Xét c=2
=>ab=2-1=1=>ab=1
Vì a>1,b>1
=>ab>11=1
=>11>1
=>1>1
=>Vô lí
*Xét c>2
=>c là số lẻ
=>c-1 là số chẵn
=>ab là số chẵn
=>a là số chẵn
=>a=2
=>2b+1=c
Với b=2=>c=22+1=4+1=5
Với b>2
=>b lẻ
=>2b:3(dư 2)
=>2b+1 chia hết cho 3
=>c chia hết cho 3
=>c=3
=>2b=3-1=2
=>b=1
=>Vô lí
Vậy a=2,b=2,c=5
Ta có :
a2 + 5ab + b2 = (a - b)2 + 7ab = 7c. (1)
Vì c là số nguyên tố nên c lớn hơn hoặc bằng 2.
Suy ra 7c chia hết 7. (2)
Ta lại có 7ab chia hết 7. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra (a - b)2 chia hết 7
=> a - b chia hết 7 (vì 7 là số nguyên tố)
Do đó (a - b)2 chia hết 7. (4)
Mặt khác c lớn hơn hoặc bằng 2 => 7c chia hết 72. (5)
Từ (1), (4) và (5) suy ra 7ab chia hết 72 => ab chia hết 7.
Suy ra a chia hết 7 hoặc b chia hết 7.
*TH1. a chia hết 7, từ (1) suy ra b chia hết 7.
*TH2. b chia hết 7, từ (1) suy ra a chia hết 7.
Do đó cả a và b đều chia hết cho 7.
Vì a, b là các số nguyên tố nên a = b = 7.
Thay a = b = 7 vào (1) ta được c = 3 (thỏa mãn c là số nguyên tố)
Vậy a = b = 7, c = 3
Ta có :
a2 + 5ab + b2 = (a - b)2 + 7ab = 7c. (1)
Vì c là số nguyên tố nên c lớn hơn hoặc bằng 2.
Suy ra 7c chia hết 7. (2)
Ta lại có 7ab chia hết 7. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra (a - b)2 chia hết 7
=> a - b chia hết 7 (vì 7 là số nguyên tố)
Do đó (a - b)2 chia hết 7. (4)
Mặt khác c lớn hơn hoặc bằng 2 => 7c chia hết 72. (5)
Từ (1), (4) và (5) suy ra 7ab chia hết 72 => ab chia hết 7.
Suy ra a chia hết 7 hoặc b chia hết 7.
*TH1. a chia hết 7, từ (1) suy ra b chia hết 7.
*TH2. b chia hết 7, từ (1) suy ra a chia hết 7.
Do đó cả a và b đều chia hết cho 7.
Vì a, b là các số nguyên tố nên a = b = 7.
Thay a = b = 7 vào (1) ta được c = 3 (thỏa mãn c là số nguyên tố)
Vậy a = b = 7, c = 3