NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
25 tháng 7 2021
Bài 2 :
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 = 0
<=> a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 7 2021
1.
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+18=2ab+6a+6b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-6b+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-3\right)^2+\left(b-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-3=0\\b-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=3\)
2.
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
C
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2021
\(M=4.\dfrac{a}{2}.\dfrac{b\sqrt{3}}{2}+a^2\le2\left(\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3b^2}{4}\right)+a^2=\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(M_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right);\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
MD
1
17 tháng 4 2022
a2b+a+b ab2+b+1
a2b+a+\(\dfrac{a}{b}\) \(\dfrac{a}{b}\)
_________
\(b-\dfrac{a}{b}\)
-Để a2b+a+b chia hết cho ab2+b+1 thì:
\(b-\dfrac{a}{b}=0\Leftrightarrow\dfrac{b^2-a}{b}=0\Rightarrow b^2=a\)
-Vậy với \(b^2=a\) và \(b\ne0\) thì ta có đpcm.
MD
17 tháng 4 2022
bn ơi cho minh hỏi sao lại có khoảng trắng v mình ko hiểu gì cả mong bn giúp
NH
4
YN
14 tháng 5 2021
\(\text{Đặt}\)\(x=a+b\ge2\)
\(P=\frac{a^2+b^2+5}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2.1+3}{a+b+3}=\frac{a^2+b^2+2ab+3}{a+b+3}=\frac{\left(a+b\right)^2+3}{a+b+3}=\frac{x^2+3}{x+3}\)
\(\Rightarrow P-\frac{7}{5}=\frac{x^2+3}{x+3}-\frac{7}{5}=\frac{\left(5x^2+15\right)-\left(7x+21\right)}{x+3}=\frac{\left(x-2\right).\left(5x+3\right)}{x+3}\ge0\)
\(\text{Vậy giá trị nhỏ nhất của}\)\(P=\frac{7}{5}\Rightarrow x=2\)
\(\Rightarrow a+b=2;ab=1\)
\(\Rightarrow a=b=1\)
15 tháng 5 2021
\(P=a^2+b^2+\frac{5}{a+b+3}\left(a,b>0\right)\)..
\(P=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\right)-\frac{20}{a+b+3}\).
Trước hết, ta chứng minh được:
\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)với \(x,y,z\in R;m,n,p>0\)\(\left(1\right)\)(tự chứng minh).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)với \(a,b>0\), ta được:
\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{5^2}{a+b+3}\ge\frac{\left(a+b+5\right)^2}{1+1+a+b+3}=\frac{\left(a+b+5\right)^2}{a+b+5}\)\(=a+b+5\).
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\frac{5^2}{a+b+3}-\frac{20}{a+b+3}\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\).
\(\Leftrightarrow P\ge a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\left(2\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{5}{a+b+3}=\frac{a+b+5}{1+1+a+b+3}=1\).
\(\Leftrightarrow a=b=1\).
Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\).
\(\Leftrightarrow a+b\ge2.\sqrt{1}=2.1=2\)(vì \(ab=1\)).
\(\Leftrightarrow a+b+3\ge5\).
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+3}\le\frac{1}{5}\).
\(\Rightarrow\frac{-1}{a+b+3}\ge-\frac{1}{5}\).
\(\Leftrightarrow\frac{-20}{a+b+3}\ge\frac{-20}{5}=-4\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Ta lại có: \(a+b\ge2\)(chứng minh trên).
\(\Leftrightarrow a+b+5\ge7\left(4\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Từ \(\left(3\right)\)và \(\left(4\right)\), ta được:
\(a+b+5-\frac{20}{a+b+3}\ge7-4=3\left(5\right)\).
Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(P\ge3\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\).
Vậy \(minP=3\Leftrightarrow a=b=1\).