K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 10 2017

áp dụng bdt amgm ta có

\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)+\(4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\) \(\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}+2\sqrt{4\sqrt{y}.\frac{1}{\sqrt{y}}}\) =6

dau = xay ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\4\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)

kl (x;y ) =(1;1/4)

7 tháng 10 2017

ĐKXĐ: \(x;y>0\)

\(\sqrt{x}+4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6\)

Á dụng bđt Cauchy ta có :

 \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\)

\(4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge2\sqrt{4\sqrt{y}.\frac{1}{\sqrt{y}}}=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+4\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge6\) Hay \(VT\ge VP\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\4\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{y}}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)

22 tháng 5 2019

Ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}..\)

Theo giả thiết \(x^2+y^2=\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\right)\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

Mà x,y>1/4\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\ge\frac{x+y}{2}\)

                \(\Leftrightarrow x+y\le2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\)

               \(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)\le0\)

              \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2\le0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-1\right)^2\ge0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=1\left(TMĐK\right).\)

14 tháng 1 2020

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y\ge1\end{cases}}\)

pt <=> \(\left(\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}\right)+\left(\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\right)=28\)(1)

Áp dụng cô-si 

VT \(\ge2\sqrt{\frac{36}{\sqrt{x-2}}.4\sqrt{x-2}}+2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{y-1}}.\sqrt{y-1}}=28\)

(1) xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{36}{\sqrt{x-2}}=4\sqrt{x-2}\\\frac{4}{\sqrt{y-1}}=\sqrt{y-1}\end{cases}}\)

<=> x = 11 ; y = 5 ( tm ) 

Kết luận:...

27 tháng 8 2017

Gọi 1/4 số a là 0,25 . Ta có :

                   a . 3 - a . 0,25 = 147,07

                   a . (3 - 0,25) = 147,07 ( 1 số nhân 1 hiệu )

                      a . 2,75 = 147,07

                         a = 147,07 : 2,75

                          a = 53,48

28 tháng 8 2017

Ta c/m BĐT mạnh hơn \(\frac{1}{x^5-x^2+3xy+6}+\frac{1}{y^5-y^2+3yz+6}+\frac{1}{z^5-z^2+3zx+6}\le\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(x^5+x+1\ge3x^2\)và \(2x^2+2\ge4x\)

\(\Rightarrow x^5-x^2+6\ge3x+3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^5-x^2+3xy+6}\le\frac{1}{3(x+xy+1)}\)

\(P\le\frac{1}{3(x+xy+1)}+\frac{1}{3(y+yz+1)}+\frac{1}{3(z+zx+1)}=\frac{1}{3}\)

6 tháng 11 2017

x và y=1

6 tháng 11 2017

x và y=1

30 tháng 6 2020

\(P=\frac{3x-6\sqrt{x}+7}{2\sqrt{x}-2}+\frac{y-4\sqrt{x}+10}{\sqrt{y}-2}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{4}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{6}{\sqrt{y-1}}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}+\frac{3}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}+\left(\sqrt{y}-2\right)+\frac{4}{\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{4}{2\left(\sqrt{y}-2\right)}+\frac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(\ge2.\sqrt{\frac{3}{2}.\frac{3}{2}}+2\sqrt{4}+\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-3\right)}\)

\(=3+4+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 4 và y = 16

26 tháng 11 2019

Áp dụng BĐT Cô - si ngược dấu :

\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(x-2010\right)}\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-2010}-1\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\le\frac{1}{4}\)

Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại 

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-2010=4\\x-2011=4\\z-2012=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2014\\y=2015\\z=2016\end{cases}}}\)

a: \(P=\dfrac{x-\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+1}{x-1}\cdot\dfrac{4\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)^2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot4\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(x-1\right)}=\dfrac{4}{x-1}\)

Để P nguyên dương thì x-1 thuộc {1;4;2}

=>x thuộc {2;5;3}

b: x+y+z=0

=>x=-y-z; y=-x-z; z=-x-y

\(P=\dfrac{x^2}{y^2+z^2-\left(y+z\right)^2}+\dfrac{y^2}{z^2+x^2-\left(x+z\right)^2}+\dfrac{z^2}{x^2+y^2-\left(x+y\right)^2}\)

\(=\dfrac{x^2}{-2yz}+\dfrac{y^2}{-2xz}+\dfrac{z^2}{-2xy}\)

\(=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\cdot\left(-1\right)\)

\(=-\dfrac{\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)

\(=-\dfrac{\left(-z\right)^3+z^3-3xy\cdot\left(-z\right)}{2xyz}=-\dfrac{3}{2}\)