Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ \(\Leftrightarrow\left|x^2-3x+2\right|-3x^2-5x\ge3m^2+5m\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\left|x^2-3x+2\right|-3x^2-5x\)
- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=-2x^2-8x+2=-2\left(x+2\right)^2+10\le10\)
- Với \(1< x< 2\Rightarrow f\left(x\right)=-4x^2-2x-2\) \(\Rightarrow-22< f\left(x\right)< -8\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì \(3m^2+5m\le maxf\left(x\right)\)
\(\Rightarrow3m^2+5m\le10\)
\(\Leftrightarrow3m^2+5m-10\le0\Rightarrow\frac{-5-\sqrt{145}}{6}\le m\le\frac{-5+\sqrt{145}}{6}\)
Câu 2:
\(\Leftrightarrow\left|x^2+x-6\right|-4x=m\)
Xét \(f\left(x\right)=\left|x^2+x-6\right|-4x\)
Với \(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-3x-6\)
\(-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\notin\left(-\infty;-3\right)\cup\left(2;+\infty\right)\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left(-\infty;-3\right)\); đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\)
Với \(-3< x< 2\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=-x^2-5x+6\)
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2}\in\left[-3;2\right]\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(-3;-\frac{5}{2}\right)\) ; nghịch biến trên \(\left(-\frac{5}{2};2\right)\)
Ta có \(f\left(-3\right)=12\) ; \(f\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{49}{4}\); \(f\left(2\right)=-8\)
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta thấy để pt có 4 nghiệm \(\Rightarrow12< m< \frac{49}{4}\)
Từ pt ta có: \(-\left(1+x^4\right)=\text{ax}^3+bx^2+cx\)
Áp dụng BĐT B.C.S:
\(\left(1+x^4\right)^2=\left(\text{ax}^3+bx^2+cx\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^6+x^4+x^2\right)\)\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\ge\frac{4}{3}\left(2\right)\)
Thật vậy: \(\left(2\right)\Leftrightarrow3\left(1+2x^4+x^8\right)\ge4\left(x^6+x^4+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\left(3x^4+2x^2+3\right)\ge0\)(luôn đúng)
Từ 1 và 2 : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{3}\left(x=1\right)\\a=b=c=\frac{-2}{3}\left(x=-1\right)\end{cases}}\)
xét \(4m^2-5m-9=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{9}{4}\\m=-1\end{matrix}\right.\)
Vs \(m=\frac{9}{4}\) bpt \(\Leftrightarrow0x\ge-\frac{27}{4}\) (t/m)
Vs m = -1 bpt \(\Leftrightarrow0x\ge16\) ( ko t/m)
Vậy m = 9/4