Question

[dhdrhyxdh]

Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM + AN = AB:
a) Đường trung trực của AB cắt tia phân giác của  tại O. CMR: tam giác BOM = tam giác AON.
b) CMR: Khi MN di động trên 2 cạnh AB và AC nhưng vẫn có: AM + AN = AB thì đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C M N O H d

a/

Xét tg vuông AHO và tg vuông BHO có

AH=BH; OH chung => tg AHO = tg BHO (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

=> OA=OB (1)

=> tg OAB cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\) (góc ở đáy tg cân) (2)

Ta có

AM+AN=AB (gt) => AN=AB-AM

BM=AB-AM

=> AN=BM (3)

Từ (1) (2) (3) => tg BOM = tg AON (c.g.c)

b/

Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với MN

=> d là đường cao của tg OMN

Ta có

tg BOM = tg AON (cmt) => OM=ON => tg OMN cân tại O

=> d là đường trung trực của tg OMN hay d là đường trung trực của MN (Trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung trực)

Ta có OH là đường trung trực của AB cố định; AO là đường phân giác của \(\widehat{A}\) không đổi => O cố dịnh

=> d luôn đi qua O cố định