Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tự vẽ hình.
a, \(xy\) cách \(\left(O\right)\) một khoảng \(OK=a\)
Mà \(OK< R\)
=> \(K\in xy\) và \(xy\) cắt \(\left(O\right)\) tại hai điểm D và E
b, \(OK\perp xy\) đồng thời \(OK\perp AK\) => \(\widehat{AKO}=90^o\) => K thuộc đường tròn đường kính AO (1)
AC, AB là 2 tiếp tuyến => \(\hept{\begin{cases}AC\perp CO\\AB\perp BO\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{ACO}=90^o\\\widehat{ABO}=90^o\end{cases}}\)
=> B, C thuộc đường kính BC (2)
(1); (2) => K, B, C thuộc đường kính BC
Hay O, A, B, C, K cùng thuộc đường kính BC
c, \(AK\perp KO\)
=> \(\widehat{AKS}=90^o\)
=> K thuộc đường tròn đường kính AS (3)
=> \(AO\perp BC\) tại M
=> \(\widehat{AMS}=90^o\)
=> M thuộc đường tròn đường kính AS (4)
(3); (4) => AMKS nội tiếp
M N C A B O E I F x y
a/ C và M cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông => C và M thuộc đường tròn đường kính AO => ACOM là tư giác nội tiếp
b/
Xét tg vuông BON có
\(BN=\sqrt{OB^2-ON^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
\(\sin\widehat{OBN}=\frac{ON}{OB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OBN}=30^o\)
Ta có \(BN=BC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm băng nhau)
Xét tg vuông BOC
\(\sin\widehat{OBC}=\frac{OC}{OB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{OBC}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NBC}=\widehat{OBN}+\widehat{OBC}=30^o+30^o=60^o\)
c/
Ta có
E; F là trung điểm của CM và CN (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm)
=> EF là đường trung bình của \(\Delta MCN\) => EF//MN (1)
Ta có
\(AM\perp MN;BN\perp MN\) => AM//BN \(\Rightarrow\frac{IA}{IN}=\frac{IM}{IB}=\frac{AM}{BN}\) (talet trong tam giác)
Mà \(AM=AC;BN=BC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm băng nhau)
\(\Rightarrow\frac{IA}{IN}=\frac{IM}{IB}=\frac{AC}{BC}\) (2)
Ta có
\(\widehat{MCN}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(CM\perp AO;CN\perp BO\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{MCN}=\widehat{AOB}=90^o\)
\(\Rightarrow CM\perp AO;BO\perp AO\) => CM//BO
Xét \(\Delta ABO\) có CM//BO \(\Rightarrow\frac{EA}{EO}=\frac{AC}{BC}\) (3)
Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{EA}{EO}=\frac{IA}{IN}\)
Nối E với I, xét \(\Delta AON\) có \(\frac{EA}{EO}=\frac{IA}{IN}\) => EI//MN (Talet đảo trong tam giác) (4)
Từ (1) và (4) => EF trung EI (Từ 1 điểm ngoài 1 đường thẳng chỉ duy nhất dựng được 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)
=> E; I; F thẳng hàng
a: Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
Xét tứ giác CMHN có \(\widehat{CMH}=\widehat{CNH}=\widehat{MCN}=90^0\)
nên CMHN là hình chữ nhật
b: Gọi I là trung điểm của BH
=>I là tâm của đường tròn đường kính BH
ΔHNB vuông tại N
=>N nằm trên đường tròn đường kính BH
=>N nằm trên (I)
=>IH=IN
=>\(\widehat{IHN}=\widehat{INH}\)
mà \(\widehat{IHN}=\widehat{BAC}\)(hai góc đồng vị, HN//AC)
nên \(\widehat{INH}=\widehat{BAC}\)
CMHN là hình chữ nhật
=>\(\widehat{MCH}=\widehat{MNH}\)
=>\(\widehat{MNH}=\widehat{ACH}\)
\(\widehat{INM}=\widehat{INH}+\widehat{MNH}\)
\(=\widehat{BAC}+\widehat{ACH}=90^0\)
=>MN là tiếp tuyến của (I)
hay MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH
d: ΔCHO vuông tại H
=>CH<=CO
mà CH=MN
nên MN<=CO
Dấu '=' xảy ra khi H trùng với O
=>CO\(\perp\)AB tại O
Xét ΔCAB có
CO là đường trung tuyến
CO là đường cao
Do đó; ΔCAB cân tại C
Xét ΔCAB cân tại C có \(\widehat{ACB}=90^0\)
nên ΔCAB vuông cân tại C
=>\(\stackrel\frown{CA}=\stackrel\frown{CB}\)
=>C là điểm chính giữa của cung AB