Question

[Ngô Thị Nhật Hiền]

Gọi O là trực tâm cua tam giác ABC trên các đoạn OB,OC lấy các điểm B', C' sao cho góc AB'C và góc AC'B bằng 90 độ. Chứng minh rằng AB'=AC'.

Answer 1

[Trần Thị Loan]

A B C O H E B' C'

Gọi BH; CE là đường cao 

Xét tam giác ABH và ACE có: góc A chung; góc AHB = AEC = 90^o

=> tam giác ABH đồng dạng với ACE (g - g)

=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{AE}\Rightarrow AE.AB=AH.AC\)                 (1)

Xét tam giác AB'H và ACB' có góc B'AH chung; góc AB'C = AHB' = 90^o

=> tam giác AB'H đồng dạng với ACB' (g - g)

=> \(\frac{AB'}{AC}=\frac{AH}{AB'}\Rightarrow AB'.AB'=AH.AC\)          (2)

Xét tam giác AC'E và ABC' có: góc C'AE chung ; góc AEC' = AC'B = 90^o

=> tam giác AC'E đồng dạng với ABC' (g - g)

=> \(\frac{AC'}{AB}=\frac{AE}{AC'}\Rightarrow AC'.AC'=AE.AB\)            (3)

từ (1)(2)(3) => AB'. AB' = AC'. AC' => AB' = AC'