Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần tìm m để BĐT dưới là đúng
\(\frac{1}{a^2+b+c}=\frac{1}{a^2-a+3}\le\frac{1}{3}+m\left(a-1\right)\Leftrightarrow-\frac{a\left(a-1\right)}{3\left(a^2-a+3\right)}\le m\left(a-1\right)\)
Tương tự như trên ta dự đoán rằng\(m=\frac{-1}{9}\)thì BĐT phụ đúng
\(\frac{1}{a^2-a+3}\le\frac{4}{9}-\frac{a}{9}\Leftrightarrow0\le\frac{\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)}{3\left(a^2-a+3\right)}\Leftrightarrow0\le\frac{\left(a-1\right)^2\left(b+c\right)}{3\left(a^2-a+3\right)}\)
Cmtt ta được
\(\frac{1}{b^2-b+3}\le\frac{4}{9}-\frac{b}{9};\frac{1}{c^2-c+3}\le\frac{4}{9}-\frac{c}{9}\)
Cộng theo vế của BĐT trên ta được
\(\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+a+c}+\frac{1}{c^2+b+a}\le\frac{4}{3}-\frac{a+b+c}{9}=1\)
=> ĐPCM
Ta có :\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
=> \(a\left(\frac{a}{b+c}\right)+b\left(\frac{b}{a+c}\right)+c\left(\frac{c}{a+b}\right)=0\)
=> \(a\left(\frac{a}{b+c}+1-1\right)+b\left(\frac{b}{a+c}+1-1\right)+c\left(\frac{c}{a+b}+1-1\right)=0\)
=> \(a\left(\frac{a+b+c}{b+c}-1\right)+b\left(\frac{a+b+c}{a+c}-1\right)+c\left(\frac{a+b+c}{a+b}-1\right)=0\)
=> \(a.\frac{a+b+c}{b+c}-a+b.\frac{a+b+c}{a+c}-b+c.\frac{a+b+c}{a+b}-c=0\)
=> \(\left(a+b+c\right).\frac{a}{b+c}+\left(a+b+c\right).\frac{b}{a+c}+\left(a+b+c\right).\frac{c}{a+b}-\left(a+b+c\right)=0\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-1\right)=0\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-1=0\left(\text{Vì }a+b+c\ne0\right)\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1\)(đpcm)
a) ta có a>b (cộng 2 và 2 vế )
<=> a+2 > b+2 (1)
ta có 2>-3 (cộng b vào 2 vế )
b+2>b-3 (2)
từ (1) và (2) => a+2 > b-3
BĐT
<=> \(\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{3\left(ac+bc+ac\right)}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
<=>\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{a\left(a\left(b+c\right)+bc\right)}{b+c}+...\right)\)
<=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
Mà \(\frac{abc}{b+c}\le abc.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc\right)\)
Khi đó BĐT
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\right)\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Cách này chủ yếu biến đổi tương đương nên chắc phù hợp với lớp 8
Nếu sử dụng SOS nhìn vào sẽ làm đc liền vì có Nesbitt lẫn \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\)
a, Áp dụng bđt Cauchy ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
b, a(a+2)<(a+1)2
=>a2+2a<a2+2a+1(đúng)
\(2b=3-2a\)
\(P=\frac{2}{a}+\frac{1}{3-2a}=\frac{m\left(3-2a\right)}{a}+\frac{na}{3-2a}+k=\frac{9m-12ma+4ma^2+na^2+3ka-2ka^2}{a\left(3-2a\right)}=\frac{\left(4m+n-2k\right)a^2-3\left(4m-k\right)a+9m}{a\left(3-2a\right)}\)
\(=\frac{6-4a+a}{a\left(3-2a\right)}=\frac{-3a+6}{a\left(3-2a\right)}\)
=> 4m + n -2k =0 ; 4m -k = 1 ; 9m = 6
=> m= 2/3 ; k = 5/3 ; n= 2/3
\(P=\frac{2\left(3-2a\right)}{3a}+\frac{2a}{3\left(3-2a\right)}+\frac{5}{3}\ge2\sqrt{\frac{2\left(3-2a\right)}{3a}.\frac{2a}{3\left(3-2a\right)}}+\frac{5}{3}=3\)
P min = 3 khi 3-2a =a => a =1 ; b = 1/2
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge4a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4\ge4a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)
cô si chứng minh ra bạn ~~~