AT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TS
4 tháng 5 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)
\(A\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+ab+bc+ac}=\dfrac{9}{3+ab+bc+ac}\)
Mặt khác,theo hệ quả AM-GM: \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le\dfrac{3^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
4 tháng 5 2018
Đầu tiên ta cm bđt:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(tự cm)
Áp dụng ta có:
\(A=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\ge\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\)
Cần cm:\(ab+bc+ca\le3\)
Hay \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>đpcm
NT
0
AT
1
21 tháng 9 2019
Dùng điểm rơi a=b=1
Gọi M là biểu thức đầu bài ta có
\(M=\frac{3}{2}\sqrt{\left(3a+1\right).4}+\sqrt{\left(3b+1\right).4}\le\frac{3}{4}\left(3a+5\right)+\frac{1}{2}\left(3b+5\right)\)
\(=\frac{9a+6b}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{4}+\frac{25}{4}=10\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=\sqrt[3]{a+b+1}+\sqrt[3]{b+c+1}+\sqrt[3]{a+c+1}\)
\(\Rightarrow A\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{9(a+b+1)}+\sqrt[3]{9(b+c+1)}+\sqrt[3]{9(a+c+1)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\sqrt[3]{9(a+b+1)}\leq \frac{3+3+(a+b+1)}{3}\)
\(\sqrt[3]{9(b+c+1)}\leq \frac{3+3+(b+c+1)}{3}\)
\(\sqrt[3]{9(c+a+1)}\leq \frac{3+3+(c+a+1)}{3}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\sqrt[3]{9}A\leq \frac{7+a+b}{3}+\frac{7+b+c}{3}+\frac{7+a+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{9}A\leq \frac{21+2(a+b+c)}{3}=\frac{21+2.3}{3}=9\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{9}{\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}\)
Vậy GTLN của $A$ là \(3\sqrt[3]{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
10 tháng 4 2018
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt[3]{a+b+1}\\y=\sqrt[3]{b+c+1}\\z=\sqrt[3]{a+c+1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=A\\x^3+y^3+z^3=9\end{matrix}\right.\)
\(A^3=9+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
BDT ; \(3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{8}{9}A^3\)\(\Leftrightarrow A^3\le9+\dfrac{8}{9}A^3\Leftrightarrow A^3\le81;A\le\sqrt[3]{81}=3.\sqrt{3}\)
dang thuc ; x=y=z <=> a=b=c=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 5 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\sqrt{\frac{2}{3}(1-a)}\leq \frac{\frac{2}{3}+1-a}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}(1-b)}\leq \frac{\frac{2}{3}+1-b}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}(1-c)}\leq \frac{\frac{2}{3}+1-c}{2}\)
Cộng theo vế:
\(\sqrt{\frac{2}{3}}(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c})\leq \frac{2+3-(a+b+c)}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2}{3}}(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c})\leq 2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\leq \sqrt{6}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 4 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(a^3+a^3+1\geq 3\sqrt[3]{a^6}=3a^2\)
\(b^3+b^3+1\geq 3\sqrt[3]{b^6}=3b^2\)
\(c^3+c^3+1\geq 3\sqrt[3]{c^6}=3c^2\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)\)
\(\Leftrightarrow 2A+3\geq 9\)
\(\Leftrightarrow A\geq 3\)
Vậy \(A_{\min}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)