Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\sqrt{\frac{2}{3}(1-a)}\leq \frac{\frac{2}{3}+1-a}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}(1-b)}\leq \frac{\frac{2}{3}+1-b}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}(1-c)}\leq \frac{\frac{2}{3}+1-c}{2}\)
Cộng theo vế:
\(\sqrt{\frac{2}{3}}(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c})\leq \frac{2+3-(a+b+c)}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2}{3}}(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c})\leq 2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\leq \sqrt{6}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(A=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\)
\(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}A=\sqrt[3]{\frac{4}{9}}.\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)\)
\(\le\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}+\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=2\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\sqrt[3]{18}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(A^3=\left(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\right)^3\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=9\cdot2\left(a+b+c\right)=9\cdot2=18\)
\(\Rightarrow A^3\le18\Rightarrow A\le\sqrt[3]{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM
\(\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(b+c\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(c+a\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\Rightarrow S.\sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{2}{3}.6}{3}=\frac{2.1+4}{3}=2\)
\(\Leftrightarrow S\le2:\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\frac{2.\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\\a+b=b+c=c+a=\frac{2}{3}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)
Vậy...
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{a+b}=\frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\left(a+b\right)}}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\le\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+a+b}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\)
Tương tự cộng lại suy ra
\(S\le\frac{6.\frac{2}{3}+2\left(a+b+c\right)}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\frac{6}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\sqrt[3]{18}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Dùng điểm rơi a=b=1
Gọi M là biểu thức đầu bài ta có
\(M=\frac{3}{2}\sqrt{\left(3a+1\right).4}+\sqrt{\left(3b+1\right).4}\le\frac{3}{4}\left(3a+5\right)+\frac{1}{2}\left(3b+5\right)\)
\(=\frac{9a+6b}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{4}+\frac{25}{4}=10\)
Mk muốn làm giúp bạn lắm chứ nhưng mà khổ lỗi mk mới học lớp 6 . Xin lỗi bn
bài 2 gợi ý từ hdt (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)
VT (ở đề bài) = a+b+c
<=>....<=>3[căn bậc 3(a)+căn bậc 3(b)].[căn bậc 3(b)+căn bậc 3(c)].[căn bậc 3(c)+căn bậc 3 (a)]=0
từ đây rút a=-b,b=-c,c=-a đến đây tự giải quyết đc r
Lời giải:
Ta có:
\(A=\sqrt[3]{a+b+1}+\sqrt[3]{b+c+1}+\sqrt[3]{a+c+1}\)
\(\Rightarrow A\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{9(a+b+1)}+\sqrt[3]{9(b+c+1)}+\sqrt[3]{9(a+c+1)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\sqrt[3]{9(a+b+1)}\leq \frac{3+3+(a+b+1)}{3}\)
\(\sqrt[3]{9(b+c+1)}\leq \frac{3+3+(b+c+1)}{3}\)
\(\sqrt[3]{9(c+a+1)}\leq \frac{3+3+(c+a+1)}{3}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\sqrt[3]{9}A\leq \frac{7+a+b}{3}+\frac{7+b+c}{3}+\frac{7+a+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{9}A\leq \frac{21+2(a+b+c)}{3}=\frac{21+2.3}{3}=9\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{9}{\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}\)
Vậy GTLN của $A$ là \(3\sqrt[3]{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt[3]{a+b+1}\\y=\sqrt[3]{b+c+1}\\z=\sqrt[3]{a+c+1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=A\\x^3+y^3+z^3=9\end{matrix}\right.\)
\(A^3=9+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
BDT ; \(3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\le\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{8}{9}A^3\)\(\Leftrightarrow A^3\le9+\dfrac{8}{9}A^3\Leftrightarrow A^3\le81;A\le\sqrt[3]{81}=3.\sqrt{3}\)
dang thuc ; x=y=z <=> a=b=c=1