Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}\ge\dfrac{2a}{b+1+b^2-b+1}=\dfrac{2a}{b^2+2}\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge\dfrac{2a}{b^2+2}+\dfrac{2b}{c^2+2}+\dfrac{2c}{a^2+2}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+2}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+2}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+2}\)
\(VT\ge6-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+2}+\dfrac{bc^2}{c^2+2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{ab^2}{b^2+2}=\dfrac{2ab^2}{2b^2+4}=\dfrac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\le\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2b^2}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2.b.b}\le\dfrac{a}{9}\left(2+b+b\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge6-\left(\dfrac{2a}{9}\left(b+1\right)+\dfrac{2b}{9}\left(c+1\right)+\dfrac{2c}{9}\left(a+1\right)\right)\)
\(=6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{9}\left(ab+bc+ca\right)\ge6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{27}\left(a+b+c\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
*Biến đổi \(\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{1-c}{\sqrt{ab+1-a-b}}=\frac{1-c}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}\)
*Tương tự ta có: \(\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}=\frac{1-a}{\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}\)
và \(\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}=\frac{1-b}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}\)
*Từ đó \(VT=\frac{1-c}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}+\frac{1-a}{\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}\)
\(+\frac{1-b}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}\)
Do a,b,c dương và a + b + c = 1 nên \(a,b,c\in\left(0;1\right)\)\(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\)dương
*Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm, ta được:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{1-c}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}.\frac{1-b}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}.\frac{1-a}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}}}=3\)
(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3)
╰❥결 원ッ2K҉7⁀ᶦᵈᵒᶫ♚ Biến đổi thẳng ở dưới mẫu luôn sẽ hay hơn nha! Khi đó không cần để ý tới dấu của 1 - a, 1 - b, 1 - c.
Sửa đề: \(\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\ge3\)
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}\)
\(=\Sigma_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\ge3\sqrt[3]{\frac{a+b}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}.\frac{b+c}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}.\frac{c+a}{\sqrt{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}}=3\)
Nó sẽ ngắn hơn một chút đúng không?
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
\(\sqrt{\frac{a}{a+bc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+abc}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{b+ca}}=\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}};\sqrt{\frac{c}{c+ab}}=\frac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(\Rightarrow VT=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{a}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)+\frac{c}{2}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=3\)
\(1,\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(A^2=\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{x+7}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(3-x+x+7\right)=2\cdot10=20\)
Dấu \("="\Leftrightarrow3-x=x+7\Leftrightarrow x=-2\)
\(A^2=3-x+x+7+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\\ A^2=10+2\sqrt{\left(3-x\right)\left(x+7\right)}\ge10\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(x+7\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-7\end{matrix}\right.\)
Sửa đề: Chứng minh \(\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge2\sqrt{a+b+c}\)
Lời giải đơn giản nhất: (copy trên mạng xuống:V)
sai đề rồi bạn ơi