Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt: a2 + b2 > = (a + b)2/2
Cm đúng <=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 > = 0
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b
Khi đó, ta có: A = \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
CM đúng <=> (a + b)2 > = 4ab
<=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b)
Ta lại có: A \(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=18\)
Dấu"=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy minA = 18/ <=> x = y = 1/2
Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng ta được :
\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)
\(\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{256\cdot\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=\frac{255}{256\cdot\frac{1}{16}}=\frac{255}{16}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2\ge\frac{289}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel
\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
2, Ta có: A= \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(1+\dfrac{1}{y}\right)^2=1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}+1+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{y^2}\)
\(=2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=2+2.\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\)
\(=2+2.\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\) ( do x+y=1)
Ta cm được BĐT : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với a, b >0
Áp dụng BĐT ta được: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{x^2+y^2}\) ( do x, y >0)
=> \(A=2+2.\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2+2.\dfrac{1}{xy}+\dfrac{4}{x^2+y^2}=2+\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{4}{x^2+y^2}\)
Áp dụng BĐT ta được: \(\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{4}{x^2+y^2}\ge\dfrac{16}{2xy+x^2+y^2}=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{16}{1}=16\) ( do x+y=1)
=> \(A\ge2+\dfrac{4}{2xy}+\dfrac{4}{x^2+y^2}\ge2+16=18\)
dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
vậy GTNN của A = 18 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Bài 2:
a: \(A=\left|5x+1\right|-\dfrac{3}{8}>=-\dfrac{3}{8}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-1/5
b: \(B=\left|-\dfrac{1}{6}x+2\right|+0.25>=0.25\)
Dấu '=' xảy ra khi x=12
Bài 3:
a: \(A=2018-\left|x+2019\right|< =2018\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-2019
b: \(=-10-\left|2x-\dfrac{1}{1009}\right|< =-10\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1/2018
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge4\)
\(A=1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}+1+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{y^2}=2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge2+\dfrac{8}{x+y}+\dfrac{2}{xy}\ge18\)
\(\Rightarrow A_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)