Question

[Minh Triều]

Cho \(\left(a_1\right)^2+\left(2a_2\right)^2+\left(3a_3\right)^2+...\left(2013a_{2013}\right)^2+\left(2014a_{2014}\right)^2=2725088015\)

Tính giá trị của biểu thức P = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a₂₀₁₃ + a₂₀₁₄ biết  a₁; a₂; a₃; a₄; ...; a₂₀₁₃; a₂₀₁₄  là các số nguyên khác 0.

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Ta có   \(1^2+2^2+\cdots+2014^2=\text{2725088015}=a_1^2+\left(2a_2\right)^2+\cdots+\left(2014a_{2014}^2\right)^2\).

Suy ra \(\left(a_1^2-1\right)+2^2\left(a_2^2-1\right)+\cdots+2014^2\left(a_{2014}^2-1\right)=0\).

Vì các số \(a_1,\ldots,a_{2014}\)  nguyên khác không nên \(a_1^2,\ldots,a_{2014}^2\) là các số nguyên dương, do đó đều lớn hơn hoặc bằng 1. Vậy ta có \(a_1^2=a_2^2=\cdots=a_{2014}^2=1\). Điều này suy ra với mỗi \(i=1,\ldots,2014\) thì \(a_i\)  nhận tùy ý một trong hai giá trị là \(\pm1\). Vì tổng đã cho \(P=a_1+a_2+\cdots+a_{2014}\) , là số chẵn (do là tổng của 2014 số lẻ) do đó có thể nhận giá trị nguyên \(k\)  bất kì với \(k\in\left\{-2014,-2012,\ldots,-2,0,2,4,\ldots,2014\right\}.\)