Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Nguyễn Hoàng Kiều Trinh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho \(-2\le a,b,c\le3\) và \(a^2+b^2+c^2=22\). Tìm GTNN của \(P=a+b+c\)
(ghi rõ tên bđt mà bạn dùng)
\(-2\le a\le3\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a-3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2-a-6\le0\Rightarrow a\ge a^2-6\)
Tương tự ta có: \(b\ge b^2-6\) ; \(c\ge c^2-6\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^2+b^2+c^2-18=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;3;-2\right)\) và hoán vị
Ta có :\(-2\le a\le3\Rightarrow a+2\ge0\) và \(a-3\le0\)\(\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a-3\right)\le0\Rightarrow a^2-a-6\le0\Rightarrow a\ge a^2-6\)
Cmtt ta cũng có : \(b\ge b^2-6\) ; \(c\ge c^2-6\)
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta đc : \(a+b+c\ge a^2+b^2+c^2-18=4\)
Dấu = xảy ra <=> (a ; b ; c) = (-2;3;3) ; (3;-2;3) ; (3;3;-2)
\(a\in\left[-2;3\right]\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a-3\right)\le0\Leftrightarrow a^2-a-6\le0\)
Tương tự ta có: \(b^2-b-6\le0\); \(c^2-c-6\le0\)
Cộng theo vế 2 bđt: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)-18\le0\)
\(\Rightarrow-\left(a+b+c\right)\le18-22=-4\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge4\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(-2;3;3\right)\) và các hoán vị
Do \(-2\le a\le3\Rightarrow\left(a+2\right)\left(3-a\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a-a^2+6\ge0\Rightarrow a\ge a^2-6\)
Tương tự ta có \(b\ge b^2-6\); \(c\ge c^2-6\)
Cộng vế với vế:
\(a+b+c\ge a^2+b^2+c^2-18=4\)
\(\Rightarrow P_{min}=4\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;3;-2\right)\) và các hoán vị
\(\left(a-3\right)\left(a+2\right)\le0\Rightarrow a^2-a-6\le0\)
Tương tự: \(b^2-b-6\le0;c^2-c-6\le0\)
Cộng theo vế ta có: \(a^2+b^2+c^2-\left(a+b+c\right)-18\le0\)
\(\Rightarrow22-\left(a+b+c\right)-18\le0\)\(\Rightarrow a+b+c\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(-2;3;3\right);\left(3;-2;3\right);\left(3;3;-2\right)\)
Từ giả thiết \(-2\le a,b,c\le3\) suy ra:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+2\right)\left(a-3\right)\le0\\\left(b+2\right)\left(b-3\right)\le0\\\left(c+2\right)\left(c-3\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-a-6\le0\\b^2-b-6\le0\\c^2-c-6\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge a^2-6\\b\ge b^2-6\\c\ge c^2-6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M=a+b+c\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)-18=4\)
\(min=4\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2;3;3\right)\) và các hoán vị
Nhầm
\(\left(a;b;c\right)=\left(-2;3;3\right)\) và các hoán vị