Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y+1=4\\yz+y+z+1=9\\zx+z+x+1=16\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\\\left(z+1\right)\left(x+1\right)=16\end{matrix}\right.\) (1)
\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=576\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\pm24\)
TH1: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=24\) (2)
Chia vế cho vế của (2) cho từng pt của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z+1=6\\x+1=\frac{8}{3}\\y+1=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z+3=6+\frac{8}{3}+\frac{3}{2}\Rightarrow x+y+z=...\)
TH2: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=-24\) làm tương tự
\(9x^2y^2+y^2-6xy-2y+2\)
\(=\left(9x^2y^2-6xy+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\)
\(=\left(3xy-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3xy-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\frac{1}{3}\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\\y=1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{x+y+z}{4}\ge\sqrt[4]{xyz}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}.1=\dfrac{1}{3}\)
BĐT Cauchy mở rộng nhé, đừng nghĩ anh làm Hoá không làm Toán mà ngu Toán nhé :), đây là BĐT Cauchy mở rộng, ở sách nâng cao có CM nhưng anh vứt đâu rồi
Với \(n\in N\text{*}\), ta luôn có BĐT:
\(\dfrac{a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_{n-1}a_n}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a_1=a_2=a_3=...=a_{n-1}=a_n\)
Ta có: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\) (Như đề là lớn hơn hoặc bằng 2)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}=2-\frac{1}{y+1}-\frac{1}{z+1}\)
\(=\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (Vì x;y;z là ba số dương nên Áp dụng BĐT Côsi)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}\ge\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\frac{1}{y+1}\ge\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) (2)
\(\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\) (3)
Nhân (1);(2);(3) ta có: \(\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}.\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}.\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8\sqrt{\left(xyz\right)^2}}{\sqrt{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)
Với x;y;z > 0 ta có: \(1\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}.\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
\(\Leftrightarrow1\ge8xyz\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+1}\\\frac{y}{y+1}=\frac{z}{z+1}\\\frac{z}{z+1}=\frac{x}{x+1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)
Vậy GTLN của xyz = 1/8 khi và chỉ khi x=y=z
P/S: Bài giải của em còn nhiều sai sót, mong mọi người thông cảm, góp ý
Đặt \(P=xyz\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2z=\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\left(2016-x-y\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\y\ge9\\z\ge1951\\x+y=2016-z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow11\le x+y\le65\)
Đặt \(x+y=a\Rightarrow11\le a\le65\)
\(4P\le a^2\left(2016-a\right)=-a^3+2016a^2-8242975+8242975\)
\(4P\le\left(65-a\right)\left[\left(a^2-65^2\right)-1951\left(a-11\right)-144051\right]+8242975\le8242975\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{8242975}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{65}{2}\\z=1951\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cô-si với ba số x,y,z không âm :
\(\dfrac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\\ \Rightarrow\dfrac{2016}{3}= 672\ge\sqrt[3]{xyz}\\ \Leftrightarrow xyz \le(672)^3\\ \)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 672
Vậy GTLN của xyz là 6723 khi x = y = z = 672