Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn đọc tự vẽ hình.
Xét tam giác \(AA'C\)có \(M,B,B'\)lần lượt nằm trên các cạnh \(AA',A'C,CA\)và \(M,B,B'\)thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có:
\(\frac{MA}{MA'}.\frac{BA'}{BC}.\frac{B'C}{B'A}=1\Leftrightarrow\frac{MA}{MA'}.\frac{BA'}{BC}=\frac{B'A}{B'C}\)
Tương tự khi xét tam giác \(AA'B\)với các điểm \(M,B,B'\)ta cũng có:
\(\frac{MA}{MA'}.\frac{CA'}{CB}=\frac{C'A}{C'B}\)
Suy ra \(\frac{B'A}{B'C}+\frac{C'A}{C'B}=\frac{MA}{MA'}\left(\frac{BA'}{BC}+\frac{CA'}{CB}\right)=\frac{MA}{MA'}.\frac{BC}{BC}=\frac{MA}{MA'}\).
Ta có đpcm.
A' M B C C' B' D A E
\(\frac{AM}{A'M}=\frac{AE}{BA'}=\frac{AD}{A'C}=\frac{AD+AE}{A'C+A'B}=\frac{DE}{BC}\)
\(\Delta CBB'\)có AE // BC , nên \(\frac{AB'}{B'C}=\frac{AE}{BC}\)( hệ quả của định lí Ta-lét);
\(\Delta BCC'\)có DA // BC , nên \(\frac{AC'}{BC'}=\frac{DA}{BC}\)( hệ quả của định lí Ta-lét).
Ta có : \(\frac{AB'}{CB'}=\frac{AC'}{BC'}=\frac{AE}{BC}+\frac{DA}{BC}=\frac{DE}{BC}\)
Do đó : \(\frac{AM}{A'M}=\frac{AB'}{CB'}+\frac{AC'}{BC'}\)
Qua �A vẽ đường thẳng song song với ��BC cắt ��′BB′ tại �D và cắt ��′CC′ tại �E.
Khi đó
Δ���ΔAME có ��AE // �′�A′C suy ra ���′�=���′�A′MAM=A′CAE (1)
Δ���ΔAMD có ��AD // �′�A′B suy ra ���′�=���′�A′MAM=A′BAD (2)
Từ (1) và (2) ta có ���′�=���′�=���′�=��+���′�+�′�=����A′MAM=A′CAE=A′BAD=A′C+A′BAD+AE=BCDE (*)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Δ��′�ΔAB′D có ��AD // ��BC suy ra ��′�′�=����B′CAB′=BCAD (3)
Δ��′�ΔAC′E có ��AE // ��BC suy ra ��′�′�=����C′BAC′=BCAE (4)
Từ (3) và (4) ta có ��′�′�+��′��′=����+����=����B′CAB′+BC′AC′=BCAD+BCAE=BCDE (**)
Từ (*) và (**) ta có ���′�=����=��′�′�+��′��′A′MAM=BCDE=B′CAB′+BC′AC′ (đpcm).
Qua �A vẽ đường thẳng song song với ��BC cắt ��′BB′ tại �D và cắt ��′CC′ tại �E.
Khi đó
Δ���ΔAME có ��AE // �′�A′C suy ra ���′�=���′�A′MAM=A′CAE (1)
Δ���ΔAMD có ��AD // �′�A′B suy ra ���′�=���′�A′MAM=A′BAD (2)
Từ (1) và (2) ta có ���′�=���′�=���′�=��+���′�+�′�=����A′MAM=A′CAE=A′BAD=A′C+A′BAD+AE=BCDE (*)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Δ��′�ΔAB′D có ��AD // ��BC suy ra ��′�′�=����B′CAB′=BCAD (3)
Δ��′�ΔAC′E có ��AE // ��BC suy ra ��′�′�=����C′BAC′=BCAE (4)
Từ (3) và (4) ta có ��′�′�+��′��′=����+����=����B′CAB′+BC′AC′=BCAD+BCAE=BCDE (**)
Từ (*) và (**) ta có ���′�=����=��′�′�+��′��′A′MAM=BCDE=B′CAB′+BC′AC′ (đpcm).
Đây là định lý Ceva nhé bạn!
Giả sử AA', BB', CC' đồng quy tại O.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{A'B}{A'C}=\dfrac{S_{OA'B}}{S_{OA'C}}=\dfrac{S_{AA'B}}{S_{AA'C}}=\dfrac{S_{AA'B}-S_{OA'B}}{S_{AA'C}-S_{OA'C}}=\dfrac{S_{OAB}}{S_{OAC}}\).
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{B'C}{B'A}=\dfrac{S_{OBC}}{S_{OBA}};\dfrac{C'A}{C'B}=\dfrac{S_{OAC}}{S_{OBC}}\).
Nhân vế với vế của các đẳng thức trên ta có đpcm.
P/s: Ngoài ra còn có các cách khác như dùng định lý Thales,..)