![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=x^2+\frac{4}{x^2+1}\)
\(=x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương x^2 + 1 và 4 / x^2 + 1
\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right)\cdot\frac{4}{x^2+1}}\)
\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge4\)
\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)
\(A\ge3\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
\(x^2+1=\frac{4}{x^2+1}\)
\(\left(x^2+1\right)^2=4\)
\(\orbr{\begin{cases}x^2+1=2\\x^2+1=-2\end{cases}}\)
\(\orbr{\begin{cases}x^2=1\\x^2=-3\left(sai\right)\end{cases}}\)
\(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)
Vậy A > 3 khi x khác 1 và - 1
A = 3 khi x = 1 hay x = - 1
A < 3 vô nghiệm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hàm số đồng biến khi \(\dfrac{m+2}{m-2}>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
b, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )
\(\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1: Hàm số (1) đồng biến khi x>0, nghịch biến khi x<0
Hàm số (2) đồng biến khi x<0; nghịch biến khi x>0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu 1: Để đường thẳng y=(m2+1)x+m có hệ số góc bằng 1 thì
\(m^2+1=1\)
=>\(m^2=0\)
=>m=0
Câu 2: Thay x=4 và y=0 vào y=x-2m, ta được:
4-2m=0
=>2m=4
=>m=2
Câu 3:
ΔABC vuông cân tại A
=>AB=AC=10cm và \(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(BC^2=10^2+10^2=200\)
=>\(BC=10\sqrt{2}\left(cm\right)\)
Ta có: ΔABC vuông cân tại A
=>\(R=\dfrac{BC}{2}=5\sqrt{2}\left(cm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) a2 - ab + b2 ≥ 0
<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0
<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0
2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2
<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\)( BĐT cô-si dạng engel)
\(\frac{4}{2+a+b}\le\frac{4}{2+2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP\)(bđt tương đương)
vậy cả hai bđt dấu "=" xảy ra đồng thời
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}\\a=b=1\end{cases}}\)
vậy \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi \(a=b=1\)
\(b,\)\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi bđt cô -si không xảy ra dấu bằng
và bđt tương đương xảy ra dấu bằng
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}>\frac{4}{2+a+b}\\4+4\sqrt{ab}=4+2a+2b\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}4+a^2+b^2+4a+4b+2ab>4+4a+4a+4ab\\2\sqrt{ab}=a+b\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2>2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)
\(0>2ab\)
\(ab< 0\)
rồi chia ra từng TH
ra đc \(TH1:\hept{\begin{cases}a< 0\\b>0\end{cases}}\)
\(TH2:\hept{\begin{cases}a>0\\b< 0\end{cases}}\)
\(c,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi
bđt cô- si dạng engel lớn hơn hoặc bằng còn bđt tương đương thì dấu bằng xảy ra
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)
\(< =>0\ge2ab\)
vì đề bài cho \(a,b>0\)lên dấu bằng không xảy ra
vậy không có giá trị a,b nào thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
câu d lập luận như các câu trên cậu làm nốt nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
dấu trừ biến thành dấu cộng
khi hiệu biến thành số bị chia
5-4=1
2-1=1
Khi dấu trừ biến thành dấu cộng
4+1=5
1+1=2