Câu hỏi của Gabriella Yoongie

Question

Huhu, ai hảo tâm giúp tớ đi, mò mãi từ chiều chưa ra T.T Ai giải được tớ like cho =))

Giải phương trình: $\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=3$

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG · Accepted Answer

ĐK $x\ne0$

$\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=3$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=\dfrac{3\left(x^3+x^2-x\right)}{x^3+x^2-x}$

$\Leftrightarrow x^4+3x^2+1=3x^3+3x^2-3x$

$\Leftrightarrow x^4+3x^2+1-3x^3-3x^2+3x=0$

$\Leftrightarrow x^4-3x^3+3x+1=0$

Chia cả 2 vế cho $x^2$ ta được :

$x^2-3x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$

$\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2-2-3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=0$

Đặt $x-\dfrac{1}{x}=t$ thì phương trình trở thành :

$t^2-3t-2=0$

$\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-1=0\t-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\t=2\end{matrix}\right.$

Với $t=1$ :

$\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=1$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}$

$\Leftrightarrow x^2-x-1=0$

$\Delta=1^2+4=5>0$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.$

Với $t=2$ :

$\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=2$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x}{x}$

$\Leftrightarrow x^2-2x-1=0$

$\Delta=\left(-2\right)^2+4=8>0$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}\x_4=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có 4 nghiệm :

$\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\x_3=1+\sqrt{2}\x_4=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.$Câu trả lời: ĐK $x\ne0$