Question

[Lê Mai Phương]

Hình chữ nhật ABCD có M,N theo thứ tự là trung điểm của AD,BC.Gọi E là một điểm bất kì thuộc tia đối của tia CD,K là giao điểm của EM và AC.Chứng minh rằng NM là tia phân giác của góc KNE.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Gọi giao điểm của AC và MN là Q

Từ Q kẻ đường thẳng song song với AD cắt KN tại F

Ta có: AD=BC(do AD và BC là hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)

mà \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)(do M là trung điểm của AD)

và \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)

nên AM=MD=BN=NC

Xét ΔAQM có

\(\widehat{MAQ}+\widehat{AMQ}+\widehat{AQM}=180độ\)(định lí tổng 3 góc trong một tam giác)(1)

Xét ΔQNC có

\(\widehat{QNC}+\widehat{NCQ}+\widehat{NQC}=180độ\)(định lí tổng 3 góc trong một tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\widehat{MAQ}+\widehat{AMQ}+\widehat{AQM}=\widehat{QNC}+\widehat{NCQ}+\widehat{NQC}\)

mà \(\widehat{AQM}=\widehat{NQC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{MAQ}=\widehat{NCQ}\)(hai góc so le trong,AD//BC)

nên \(\widehat{AMQ}=\widehat{QNC}\)

Xét ΔAMQ và ΔCNQ có

\(\widehat{AMQ}=\widehat{QNC}\)(cmt)

AM=NC(cmt)

\(\widehat{MAQ}=\widehat{NCQ}\)(hai góc so le trong,AD//BC)

Do đó: ΔAMQ=ΔCNQ(g-c-g)

⇒MQ=QN(hai cạnh tương ứng)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)

⇒ABCD cũng là hình thang có hai đáy là AB và CD

Xét hình thang ABCD(AB//CD) có

M là trung điểm của AD(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD)

⇒MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)(định lí 4 về đường trung bình của hình thang)

Ta có: FQ//AD(theo cách vẽ)

AD⊥AB(ABCD là hình chữ nhật)

Do đó: FQ⊥AB(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)

Ta có: MN//AB(cmt)

FQ⊥AB(cmt)

Do đó: FQ⊥MN(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)

Ta có: QM=QN(cmt)

mà M,Q,N thẳng hàng(do \(FQ\cap MN=\left\{O\right\}\))

nên Q là trung điểm của MN

Xét ΔFMN có

FQ là đường trung tuyến ứng với cạnh MN(do Q là trung điểm của FN)

FQ là đường cao ứng với cạnh MN(FQ⊥MN)

Do đó: ΔFMN cân tại F(định lí tam giác cân)

⇒\(\widehat{FMQ}=\widehat{FNQ}\)(a)

Xét ΔQPC có ME//PC(MN//DC,E∈MN,P∈DC)

nên \(\frac{QM}{MP}=\frac{QE}{EC}\)(định lí Talet)(3)

Xét ΔQNC có EF//NC(do EF//BC,N∈BC)

nên \(\frac{QE}{EC}=\frac{QF}{FN}\)(định lí Talet)(4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\frac{QM}{MP}=\frac{QF}{FN}\)

Xét ΔQPN có

\(\frac{QM}{MP}=\frac{QF}{FN}\)(cmt)

nên MF//PN(định lí Talet đảo)

⇒\(\widehat{FMN}=\widehat{MNE}\)(hai góc so le trong)(b)

Từ (a) và (b) suy ra \(\widehat{FNM}=\widehat{MNE}\)

mà tia NM nẳm giữa tia NK,NE

nên NM là tia phân giác của \(\widehat{KNE}\)(đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

phải là tia DC mới được nhé bạn

Hình vẽ đây nhé: