Question

[Nguyễn Hà]

Giups mình với ạa

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Một đường thẳng bất kì qua O cắt các đường thẳng AD, BC kéo dài lần lượt tại M và N, đồng thời cắt các cạnh AB, CD lần lượt tại P và Q. Chứng minh ON.OP = OM.OQ.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(1)

Xét ΔOBP và ΔODQ có

\(\widehat{OBP}=\widehat{ODQ}\)(BP//DQ)

\(\widehat{BOP}=\widehat{DOQ}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOBP~ΔODQ

=>\(\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OP}{OQ}\left(2\right)\)

Xét ΔOAM và ΔOCN có

\(\widehat{OAM}=\widehat{OCN}\)(AM//CN)

\(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAM~ΔOCN

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OM}{ON}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OP}{OQ}=\dfrac{OM}{ON}\)

=>\(OP\cdot ON=OM\cdot OQ\)