Question

[Tú Uyên]

Giúp em câu 30 31 2 4 5 6 7 8

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 30:

a) Điều kiện \\(x>1; x-1\\neq 1\\)

\\((x-4)^2\\log_4(x-1)-2\\log_4(x-1)^2=(x-4)^2\\log_{x-1}4-2\\log_{x-1}16\\)

\\(\\Leftrightarrow (x-4)^2\\log_4(x-1)-4\\log_4(x-1)=(x-4)^2\\log_{x-1}4-4\\log_{x-1}4\\)

\\(\\Leftrightarrow \\log_4(x-1)[(x-4)^2-4]=\\log_{x-1}4[(x-4)^2-4]\\)

\\(\\Leftrightarrow (x-6)(x-2)[\\log_4(x-1)-\\log_{x-1}4]=0\\)

\\(\\Leftrightarrow \\)\\(\\left[{}\\begin{matrix}x=6\\\\x=2\\\\\\log_{x-1}4=\\log_4\\left(x-1\\right)\\left(\\cdot\\right)\\end{matrix}\\right.\\) (loại th x=2 vì \\(x-1\\neq 1\\) )

Xét \\((*)\\)

Ta có: \\(\\log_4(x-1)=\\log_{x-1}4\\Rightarrow [\\log_4(x-1)]^2=\\log_4(x-1).\\log_{x-1}4=\\log_44=1\\)

\\(\\Rightarrow \\log_4(x-1)=\\pm 1\\Rightarrow x-1=4^{\\pm 1}\\Rightarrow x=5; x=\\frac{5}{4}\\)

Vậy \\(x\\in \\left\\{\\frac{5}{4};5;6\\right\\}\\)

b) Điều kiện: \\(x>2; x-2\\neq 1\\)

\\(2\\log_3(x-2)^2+(x-5)^2\\log_{x-2}3=2\\log_{x-2}9+(x-5)^2\\log_3(x-2)\\)

\\(\\Leftrightarrow 4\\log_3(x-2)+(x-5)^2\\log_{x-2}3=4\\log_{x-2}3+(x-5)^2\\log_3(x-2)\\)

\\(\\Leftrightarrow 4[\\log_3(x-2)-\\log_{x-2}3]-(x-5)^2[\\log_3(x-2)-\\log_{x-2}3]=0\\)

\\(\\Leftrightarrow [\\log_3(x-2)-\\log_{x-2}3](7-x)(x-3)=0\\)

\\(\\Rightarrow\\left[{}\\begin{matrix}x=7\\\\x=3\\\\\\log_3\\left(x-2\\right)=\\log_{x-2}3\\left(1\\right)\\end{matrix}\\right.\\) (loại x=3 vì \\(x-2\\neq 1\\))

Xét \\((1)\\Rightarrow [\\log_3(x-2)]^2=\\log_3(x-2).\\log_{x-2}3=\\log_33=1\\)

\\(\\Leftrightarrow \\log_3(x-2)=\\pm 1\\Rightarrow x-2=3^{\\pm 1}\\Leftrightarrow x=5; x=\\frac{7}{3}\\) 

Vậy \\(x\\in \\left\\{\\frac{7}{3};5;7\\right\\}\\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 31:

a) ĐK:.......

\\(log_2^2x+x\\log_7(x+3)=\\log_2x\\left(\\frac{x}{2}+2\\log_7(x+3)\\right)\\)

\\(\\Leftrightarrow \\log_2x[\\log_2x-\\frac{x}{2}]+\\log_7(x+3)(x-2\\log_2x)=0\\)

\\(\\Leftrightarrow (2\\log_2x-x)\\left(\\frac{\\log_2x}{2}-\\log_7(x+3)\\right)=0\\)

TH1: \\(2\\log_2x-x=0\\Leftrightarrow \\log_2x=\\frac{x}{2}\\)

Pt này thực chất phải sử dụng hàm trong toán cao cấp (không học ở thpt ) để giải, còn nghiệm thông thường là \\(x=2;4\\)

TH2: \\(\\log_2x=2\\log_7(x+3)\\)

Đặt \\(\\log_2x=2\\log_7(x+3)=2t\\Rightarrow x=4^t; x+3=7^{t}\\)

\\(\\Rightarrow 7^t-4^t=3\\Leftrightarrow 7^t=4^t+3\\)

Nếu \\(t>1\\Rightarrow 7^t< 4^t+3^t\\Leftrightarrow 1< (\\frac{4}{7})^t+(\\frac{3}{7})^t\\)

Vì \\(\\frac{4}{7};\\frac{3}{7}<1; t>1 \\Rightarrow (\\frac{4}{7})^t< \\frac{4}{7}; (\\frac{3}{7})^t< \\frac{3}{7}\\Rightarrow (\\frac{4}{7})^t+(\\frac{3}{7})^t<1 \\) (vô lý)

Tương tự với \\(t<1\\Rightarrow t=1\\Rightarrow x=4\\)

Vậy \\(x\\in \\left\\{2;4\\right\\}\\)

b) 

Đặt \\(\\log_2x=a\\Rightarrow x^2-x(9-a)+8+6a-2a^2=0\\)

\\(\\Leftrightarrow x^2+x(a-9)+(8+6a-2a^2)=0\\)

Xét delta của pt bậc 2 ẩn x ta thấy \\(\\Delta=(3a-7)^2\\Rightarrow \\) \\(\\left[{}\\begin{matrix}x=2a-8\\left(1\\right)\\\\x=-\\left(a+1\\right)\\left(2\\right)\\end{matrix}\\right.\\)

TH (1): \\(\\Leftrightarrow 2^a=2a-8\\) (từ đây suy ra \\(a>4\\) )

\\(\\Leftrightarrow 2^a-2a=-8\\)

Ta thấy \\((2^a-2a)\'=\\ln 2.2^a-2>\\ln 2.2^4-2>0\\) nên là hàm đồng biến với mọi \\(a>4\\)

\\(\\Rightarrow 2^a-2a> 2^4-2.4>-8\\), do đó pt vô nghiệm

TH (2): \\(x=-(a+1)\\Leftrightarrow 2^a+a=-1\\)

Ta thấy \\((2^a+a)\'=\\ln 2.2^a+1>0\\), do đó hàm đồng biến

-1 là hàm hằng

Do đó pt chỉ có duy nhất một nghiệm \\(a\\approx -1,38\\Rightarrow x=0,38\\)