Question

[Nguyễn Ngọc]

Giúp e câu 3 với câu 4 với ạ, viết ra giấy r chụp cho nhanh e đang gấp

Answer 1

[Xyz OLM]

3) Ta  có \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

\(=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Ta dễ chứng minh được rằng \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)

Thật vậy \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)

<=> \(\frac{a^2+c^2}{ac}\ge2\)

<=> a² + c² \(\ge\)2ac

<=> (a - c)² \(\ge0\)(đúng với a,c > 0)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\end{cases}}\)

Khi đó \(\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge2+2+2=6\)(đpcm)