Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}\ge1-\dfrac{1}{1+b}-1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\\\dfrac{1}{1+b}\ge1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{c}{1+c}\\\dfrac{1}{1+c}\ge1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}\ge\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\\\dfrac{1}{1+b}\ge\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\dfrac{1}{1+c}\ge\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{matrix}\right.\)
Nhân theo từng vế
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\dfrac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge8abc\)
\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Cách 1.
Nhận xét : \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) . Do vậy A luôn xác định. Ta có :
\(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow A\left(x^2-x+1\right)=x^2+1\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)-x.A+\left(A-1\right)=0\)
Tìm GTLN-GTNN tức là tồn tại giá trị x thỏa mãn minA và maxA.
Vậy thì điều kiện cần là phương trình trên có nghiệm, tức là :
\(\Delta=A^2-4.\left(A-1\right)\left(A-1\right)=A^2-4\left(A^2-2A+1\right)=-3A^2+8A-4\ge0\)
Giải bđt trên được \(\frac{2}{3}\le A\le2\)
Vậy : min A = 2/3 khi x = -1
max A = 2 khi x = 1
Cách 2.
Theo nhận xét ở cách 1 thì ta có A luôn xác định.
Ta có : \(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2+2x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = -1
Vậy minA = 2/3 khi x = -1
\(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-x+1}=-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}+2\le2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 1
Vậy max A = 2 khi x = 1