Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm
Sửa đề: \(C=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\)
\(a,C=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{a-1-a+4}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\left(a>0;a\ne1;a\ne4\right)\\ C=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{3}=\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\\ b,C\ge\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}-\dfrac{1}{6}\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{a}-4}{6\sqrt{a}}\ge0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-4\ge0\left(6\sqrt{a}>0\right)\\ \Leftrightarrow a\ge16\)
a) \(C=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\left(a>0.a\ne1\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{a}+1-\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{-1}{\sqrt{a}-1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\left(1-\sqrt{a}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
b) \(C=\dfrac{1}{4}\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\sqrt{a}=-4\) (vô lý) \(\Rightarrow\) không có a thỏa đề
\(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1}\right)\left(đk:a>0,a\ne1\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{a-1-a+2}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}.\dfrac{\sqrt{a}-2}{1}=\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}\)
Để A nguyên
\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}=1-\dfrac{2}{\sqrt{a}}\in Z\)
Do \(\sqrt{a}>0,\sqrt{a}\ne1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\inƯ\left(2\right)=\left\{2\right\}\)
\(\Leftrightarrow a=4\)
Bài 1:
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b+c}.\dfrac{b+c}{4}}=2\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=a\) (1)
Chứng minh tương tự:
\(\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b\) (2)
\(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{c+a}{4}+\dfrac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge a+b+c\)
Bài 2:
Theo bđt Cauchy ta có:
\(1+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{2a+b+c}{a}\ge\dfrac{2a+2\sqrt{bc}}{a}\ge\dfrac{2\left(a+\sqrt{bc}\right)}{a}\ge\dfrac{4\sqrt{a\sqrt{bc}}}{a}\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{bc}{a^2}}\)
Chứng minh tương tự:
\(1+\dfrac{1}{b}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{ca}{b^2}}\)
\(1+\dfrac{1}{c}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{ab}{c^2}}\)
Nhân vế theo vế 3 bđt trên ta được:
\(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge4^3\sqrt[4]{\dfrac{\left(abc\right)^2}{a^2b^2c^2}}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64\left(dpcm\right)\)
Viết gọn lại, ta cần chứng minh:
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}\right)=\sum\dfrac{4ab}{a+b}\)
Thật vậy, ta có:
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum\left(2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{1}{4}}\right)^2=\sum a+b\)
Vậy ta cần chứng minh:
\(\sum a+b\ge\sum\dfrac{4ab}{a+b}\Leftrightarrow\sum\left(a+b\right)^2\ge\sum4ab\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Dễ chứng minh được:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
Do đó, ta có:
\(\sum\limits_{cyc}=\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
Vậy: BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
1) Áp dụng BĐT Cô si
ta có
\(\left(\sqrt{a+b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a,b\inĐK\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{a+b}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a+b}\)
vậy ĐPCM
Bài 2
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VP\le4\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\right)=2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge2.2\sqrt{ab}.\dfrac{1}{2}=2\sqrt{ab}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có:
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Hình như thiếu đề bn ơi
Thiếu đề thật nhưng thôi mk giải đc rồi😅😅😅