Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau trong đường tròn (O) và 2 tiếp tuyến tại M và N, ta có AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\) (1)
Lại có \(\widehat{AME}=\widehat{MNE}\) (do chúng là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung đó)
Hơn nữa, vì AO là trung trực của đoạn MN nên E thuộc trung trực của MN \(\Rightarrow EM=EN\) \(\Rightarrow\Delta EMN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{ENM}=\widehat{EMN}\)
Từ đó suy ra \(\widehat{AME}=\widehat{EMN}\) hay ME là tia phân giác của \(\widehat{AMN}\). (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) đpcm.
e) Gọi C là giao điểm của PO và (AMN). Khi đó ta có \(PB^2=PN.PM=PC.PO\) nên \(\Delta PBC~\Delta POB\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{PCB}=\widehat{PBO}=90^o\) \(\Rightarrow PC\perp BC\)
Mặt khác, do đường tròn (AMN) có đường kính là AO nên \(\widehat{ACO}=90^o\Rightarrow AC\perp PC\)
Từ đó suy ra A, B, C thẳng hàng. Do đó \(\widehat{ABM}=\widehat{BPO}\) (vì cùng phụ với \(\widehat{POB}\))
a: Xét (O) có
EA,EC là tiếp tuyến
Do đó: EA=EC
=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)
Ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC
=>OE\(\perp\)AC tại trung điểm của AC
b: Xét tứ giác NCMA có
\(\widehat{CNA}=\widehat{CMA}=\widehat{MAN}=90^0\)
=>NCMA là hình chữ nhật
=>NM cắt CA tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của NM
nên I là trung điểm của CA
Ta có: OE vuông góc AC tại trung điểm của AC(cmt)
mà I là trung điểm của AC
nên OE\(\perp\)AC tại I
=>O,I,E thẳng hàng
c: Gọi giao điểm của CB với AN là F
Ta có: CM\(\perp\)AB
FA\(\perp\)AB
Do đó: CM//FA
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
=>AC\(\perp\)BC tại C
=>AC\(\perp\)FB tại C
=>ΔACF vuông tại C
Xét ΔEAC có EA=EC
nên ΔEAC cân tại E
=>\(\widehat{EAC}=\widehat{ECA}\)
Ta có: \(\widehat{EAC}+\widehat{EFC}=90^0\)(ΔACF vuông tại C)
\(\widehat{ECA}+\widehat{ECF}=\widehat{ACF}=90^0\)
mà \(\widehat{EAC}=\widehat{ECA}\)
nên \(\widehat{EFC}=\widehat{ECF}\)
=>EF=EC
mà EA=EC
nên EF=EA(3)
Xét ΔEAB có KM//AE
nên \(\dfrac{KM}{AE}=\dfrac{BK}{BE}\left(4\right)\)
Xét ΔBFE có CK//FE
nên \(\dfrac{CK}{FE}=\dfrac{BK}{BE}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra \(\dfrac{KM}{AE}=\dfrac{CK}{FE}\)
mà AE=FE
nên KM=CK
=>K là trung điểm của CM
a: O là trung điểm của AB
=>\(OA=OB=\dfrac{AB}{2}=4,8\left(cm\right)\)
ΔOBD vuông tại B
=>\(OD^2=OB^2+BD^2\)
=>\(OD^2=4,8^2+6,4^2=64\)
=>OD=8(cm)
Xét ΔDON vuông tại O có OB là đường cao
nên \(OB^2=BN\cdot BD\)
=>\(BN\cdot6,4=4,8^2\)
=>BN=3,6(cm)
DN=DB+BN
=3,6+6,4
=10(cm)
Xét ΔODN vuông tại O có \(DN^2=OD^2+ON^2\)
=>\(ON^2+8^2=10^2\)
=>\(ON^2=36\)
=>ON=6(cm)
b: Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
Do đó; OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
\(\widehat{MOB}+\widehat{MOA}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\widehat{MOD}+\widehat{MOA}=2\cdot90^0\)
=>\(\widehat{MOA}=2\cdot90^0-2\cdot\widehat{MOD}=2\left(90^0-\widehat{MOD}\right)=2\cdot\widehat{COM}\)
=>OC là phân giác của góc MOA
Xét ΔCAO và ΔCMO có
OA=OM
\(\widehat{COA}=\widehat{COM}\)
OC chung
Do đó: ΔCAO=ΔCMO
=>\(\widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^0\)
=>AC\(\perp\)AB
mà BD\(\perp\)AB
nên BD//AC
Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBN vuông tại B có
OA=OB
\(\widehat{AOC}=\widehat{BON}\)
Do đó: ΔOAC=ΔOBN
=>OC=ON
=>O là trung điểm của CN
Xét ΔDCN có
DO là đường cao
DO là đường trung tuyến
Do đó;ΔDCN cân tại D
=>DC=DN
c: Vì \(\widehat{CAO}=90^0\) và OA là bán kính của (O)
nên CA là tiếp tuyến của (O)
a: Sửa đề: A,B,M,O
Xét tứ giác BMOA có
\(\widehat{BMO}+\widehat{BAO}=90^0+90^0=180^0\)
=>BMOA là tứ giác nội tiếp
=>B,M,O,A cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
BA,BM là tiếp tuyến
Do đó: BA=BM và OB là phân giác của \(\widehat{AOM}\)
=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{AOB}\)
Xét (O) có
CA,CN là tiếp tuyến
Do đó: CA=CN và OC là phân giác của \(\widehat{AON}\)
=>\(\widehat{AON}=2\cdot\widehat{AOC}\)
\(\widehat{AON}+\widehat{AOM}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\widehat{AOC}+2\cdot\widehat{AOB}=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{BOC}=180^0\)
=>\(\widehat{BOC}=90^0\)
Xét ΔOBC vuông tại O có OA là đường cao
nên \(OA^2=AB\cdot AC\)
mà AB=BM và AC=CN
nên \(OA^2=BM\cdot CN\)
c: BA=BM
=>B nằm trên đường trung trực của AM(1)
OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1) và (2) suy ra BO là đường trung trực của AM
=>BO\(\perp\)AM tại trung điểm của AM
=>BO\(\perp\)AM tại H và H là trung điểm của AM
CA=CN
=>C nằm trên đường trung trực của AN(3)
OA=ON
=>O nằm trên đường trung trực của AN(4)
Từ (3) và (4) suy ra CO là đường trung trực của AN
=>CO\(\perp\)AN tại trung điểm của AN
=>CO\(\perp\)AN tại K và K là trung điểm của AN
Xét tứ giác AHOK có \(\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=\widehat{HOK}=90^0\)
nên AHOK là hình chữ nhật