Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức là có ngay mà?
\(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}\)
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @tth_new
help me! cần gấp lắm ạ!
thanks nhiều!
\(VT=\frac{a^4}{a^3b}+\frac{b^4}{b^3c}+\frac{c^4}{c^3a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3b+b^3c+c^3a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=3\)
\(VP=\frac{9}{a+b+c}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\le a+b+c\le3\) ( \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\) )
\(\Rightarrow\)\(VT\ge VP\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{b^2}{b+a}-\frac{c^2}{b+c}-\frac{a^2}{c+a}\)
\(=\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+a}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\right)\)
\(=a-b+b-c+c-a=0\)
Từ đây ta suy ra được
\(\hept{\begin{cases}\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\le\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\\\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi \(|a|=|b|=|c|\)
AD bđt AM-GM ta có
\(\frac{b+c}{a^2}+\frac{4}{b+c}\ge2\sqrt{\frac{b+c}{a^2}\frac{4}{b+c}}=\frac{4}{a}\) (1)
Tương tự có: \(\frac{c+a}{b^2}+\frac{4}{c+a}\ge\frac{4}{b}\) (2)
\(\frac{a+b}{c^2}+\frac{4}{a+b}\ge\frac{4}{c}\) (3)
Cộng theo vế các bđt (1), (2), (3) ta được:
\(\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\) (4)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\frac{1}{b}}=\frac{4}{2\sqrt{ab}}\ge\frac{4}{a+b}\) (5)
Tương tự: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) (6)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\) (7)
Cộng theo vế các bđt (4),(5),(6),(7) ta được:
\(\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
=> đpcm