Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
CM theo bdt co-si
Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a2/c và c
Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)
CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)
\(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:
\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)
<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)
\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Mình giúp bạn nha :33
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương ta được :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\) (1)
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\frac{a^2+b^2}{2}}}=2.1=2\) (2)
( Do BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) \(\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge\frac{1}{\frac{a^2+b^2}{2}}=1\) )
Nhân hai vế của BĐT (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Ta có a^2 +b^2=2
Áp dụng BĐT Cosi
\(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}=1\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(1\right)\)
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}\ge2\left(2\right)\)
từ (1),(2) ta có ĐPCM
\(a.\) Với \(a+b+c=0\) thì \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1\)
\(b.\) Công thức tổng quát: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Ta có:
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
\(\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\)
\(\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-4}\)
\(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\)
Do đó, suy ra được: \(A=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}=\frac{x+5-x}{x\left(x+5\right)}=\frac{5}{x\left(x+5\right)}\)
\(\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{\left(c-b\right)-\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{b-c}\)
Tương tự:
\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c-a};\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}=\frac{1}{b-c}+\frac{1}{a-b}\)
Cộng lại có đpcm
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Cái này chuẩn CBS dạng đặc biệt với hai tử số bằng 1
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Cauchy đi mài ._.
Vì a, b > 0 nên áp dụng bđt Cauchy cho :
- Bộ số a, b ta được :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
- Bộ số 1/a, 1/b ta được :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\cdot\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân hai vế tương ứng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3=\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{c}\right)\)
\(=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge a.\frac{4}{a+b}+b.\frac{4}{b+c}+c.\frac{4}{c+a}=4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
Dấu "=" <=> a = b = c