Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\frac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\frac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+\left(b-c\right)}{b-c}-1+\frac{b+\left(c-a\right)}{c-a}-1+\frac{c+\left(a-b\right)}{a-b}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{a+c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{b+c}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
Từ gt ta có : \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
e Bon đz:
ĐKXĐ: \(a\ne b\ne c\) =))
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)
Nhân hết ra và tự làm tiếp nhé~
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Từ đề bài ta có: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=\frac{ab-b^2-ac+c^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{ab-ac-b^2+c^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{cb-ab-c^2+a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{ca-cb-a^2+b^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
Cộng các vế các hằng đẳng thức trên ta suy ra đpcm
(Không chắc sai thì thôi :D )