K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 5 2016

VP của BĐT 2 phân số ở cuối sao lại dính vô nhau thế

22 tháng 5 2016

Viết thiếu dấu + . Ngon làm hộ cái. -_-

22 tháng 5 2016

dùng BĐT Cachy-S

22 tháng 5 2016

mình không hiểu lắm. Bạn giải rõ ra được không?

12 tháng 3 2021

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{bc+ac-ab}{abc}=0\)

Vì \(a,b,c\ne0\Rightarrow abc\ne0\)

\(\Rightarrow bc+ac-ab=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(bc+ac\right)^2=\left(ab\right)^2\\\left(bc-ab\right)^2=\left(-ac\right)^2\\\left(ac-ab\right)^2=\left(-bc\right)^2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2=-2abc^2\\b^2c^2+a^2b^2-a^2c^2=2ab^2c\\a^2c^2+a^2b^2-b^2c^2=2a^2bc\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow E=\frac{a^2b^2c^2}{2ab^2c}+\frac{a^2b^2c^2}{-2abc^2}+\frac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)

\(\Rightarrow E=\frac{ac}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac-ab+bc}{2}=\frac{0}{2}=0\)

CHÚC BẠN HỌC TỐT

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{bc+ac-ab}{abc}=0\)

Vì \(a,b,c\ne0\Rightarrow a.b.c\ne0\)

\(\Rightarrow bc+ac-ab=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(bc+ac\right)^2=\left(ab\right)^2\\\left(bc-ab\right)^2=\left(-ac\right)^2\\\left(ac-ab\right)^2=\left(-bc\right)^2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2=-abc^2\\b^2c^2+a^2b^2-a^2c^2=2ab^2c\\a^2c^2+a^2b^2-b^2c^2=2a^2bc\end{cases}}\)

\(\Rightarrow E=\frac{a^2b^2c^2}{2ab^2c}+\frac{a^2b^2c^2}{-2abc^2}+\frac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)

\(\Rightarrow E=\frac{ac}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac-ab+bc}{2}=\frac{0}{2}=0\)

Vậy \(E=0\)

7 tháng 4 2019

Do a ; b ; c \(\ge1>0\) , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta được :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

=> BĐT được c/m

Áp dụng BĐT trên vào bài toán , ta có :

\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{4}{2a-1+1}=\frac{2}{a}\left(1\right)\)

Tương tự : \(\frac{1}{2b-1}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{2c-1}+1\ge\frac{2}{c}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\left(3\right)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( đã c/m ) , ta có :

\(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\left(4\right)\)

Từ ( 3 ) ; ( 4 ) \(\Rightarrow\) đpcm

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-1=1\\2b-1=1\\2c-1=1;a=b=c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy ...

15 tháng 2 2020

Cần CM bĐT phụ sau : \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\left(1\right)\)

Có \(a+b\ge2\sqrt{ab},\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\) (1) đúng

Áp dụng (1) ta có \(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b+c}\right)\left(2\right)\)

Tương tự có \(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b}\right)\left(3\right),\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{c}\right)\left(4\right)̸\)

Cọng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{3}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

NV
16 tháng 2 2020

\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{a+a+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+a}+\frac{1}{b+c}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ; \(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

16 tháng 7 2019

Sửa đề:

Cho a, b, c > 1(chỗ này là ý tui, dùng Wolfram Alpha sẽ thấy nếu không sửa như vầy thì đẳng thức không xảy ra). CMR:

\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) (cái này là ý chủ tus đấy nhá!)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{2a-1}+\frac{2b}{2b-1}+\frac{2c}{2c-1}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\) (tách ghép vế trái + làm chặt BĐT do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};..\))

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2-4a+2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2b^2-4b+2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2c^2-4c+1}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (chuyển vế + quy đồng)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2\left(b-1\right)^2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2\left(c-1\right)^2}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy ta có đpcm.

16 tháng 7 2019

\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2a-1+1}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

22 tháng 3 2018

Áp dụng bất đẳng thức có: 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{a+a+b+c}=\frac{16}{2a+b+c}\)<=> \(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{2a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{16}{a+2b+c}\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{16}{a+b+2c}\)

Cộng 2 vế với nhau ta được: 

\(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\ge\frac{16}{2a+b+c}+\frac{16}{a+2b+c}+\frac{16}{a+b+2c}\)

<=> \(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\ge16\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

=> \(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

1 tháng 7 2017

Lần sau đăng ít một thôi toàn bài dài :v, ko phải ko làm mà là ngại làm

a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{b}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{4}\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

b)Đặt \(THANG=abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ac\right)\left(c^2+ab\right)>0\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{b+c}{a^2+bc}-\frac{c+a}{b^2+ac}-\frac{a+b}{a^2+ab}\)

\(=\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{THANG}\)

\(=\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2THANG}\ge0\) (Đúng)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

c)Ta có:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)

Và \(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)

\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-b\right)}{\left(b+a\right)\left(b^2+a^2\right)}\)

Cộng theo vế 3 đăng thức trên ta có:

\(VT-VP=Σ\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\cdotΣ\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge0\)

2 bài cuối full quy đồng mệt thật :v