Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{28n^2+1}=k\)
\(A=2k+2=4\left(\frac{k+1}{2}\right)\)
\(k^2=28n^2+1\)
\(k^2-1=28n^2\)
\(\frac{k^2-1}{28}=n^2\)
Suy ra\(k^2-1\)chia hết cho 7 vì tử nguyên mẫu nguyên mà thương cũng nguyên nên tử chia hết cho mẫu mà 28 chia hết cho 7
\(k^2\equiv1\left(mod7\right)\)
\(k\equiv1\)(mod7)
k-1 chia hết cho 7
Có \(n^2=\frac{k^2-1}{28}=\left(\frac{k-1}{14}\right)\left(\frac{k+1}{2}\right)\)
2 số trên nguyên tố cùng nhau
mà tích là số chính phương nên 2 số trên đều là số chính phương
(k+1)/2 chính phương
\(A=4\left(\frac{k+1}{2}\right)\)tích 2 số cp nên a cp
Do \(n\in N^{\text{*}}\) \(\left(o\right)\) nên ta dễ dàng suy ra \(2+2\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\)
Do đó, \(2\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\) dẫn đến \(\sqrt{28n^2+1}\in Q\)
Lại có: \(28n^2+1\) luôn là một số nguyên dương (do \(\left(o\right)\)) nên \(\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\)
hay nói cách khác, ta đặt \(\sqrt{28n^2+1}=m\) (với \(m\in Z^+\) )
\(\Rightarrow\) \(28n^2+1=m^2\) \(\left(\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\) \(m^2-1=28n^2\) chia hết cho \(4\)
Suy ra \(m^2\text{ ≡ }1\) \(\left(\text{mod 4}\right)\)
Hay \(m\) phải là một số lẻ có dạng \(m=2k+1\) \(\left(k\in Z^+\right)\)
Từ \(\left(\alpha\right)\) suy ra \(28n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\)
nên \(7n^2=k\left(k+1\right)\)
Theo đó, ta có: \(\orbr{\begin{cases}k\\k+1\end{cases}\text{chia hết cho 7}}\)
Xét hai trường hợp sau:
\(\text{Trường hợp 1}:\)\(k=7q\) \(\left(q\in Z^+\right)\)
Suy ra \(7n^2=7q\left(7q+1\right)\)
\(\Rightarrow\) \(n^2=q\left(7q+1\right)\) \(\left(\beta\right)\)
Mặt khác, vì \(\left(q,7q+1\right)=1\) nên từ \(\left(\beta\right)\) suy ra \(\hept{\begin{cases}q=a^2\\7q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow}\) \(7a^2+1=b^2\) \(\left(\gamma\right)\)
Tóm tại tất cả điều trên, ta có:
\(A=2+2\sqrt{28n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.7q=4+28q\)
Khi đó, \(A=4+28a^2=4\left(7a^2+1\right)=4b^2\) (do \(\left(\gamma\right)\) )
Vậy, \(A\) là số chính phương với tất cả các điều kiện nêu trên
\(\text{Trường hợp 2:}\)\(k+1=7q\)
Tương tự
Gỉa sử ab+1=n2 (n thuộc N)
Cho c=a+b+2n.Ta có:
* ac+1=a(a+b+2n)+1
=a2+2na+ab+1=a2+2na+n2=(a+n)2
* bc +1=b(a+b+2n)+1=b2+2nb+ab+1
=b2+2nb+n2=(b+n)2
Vậy ac+1 và bc+1 đều là số chính phương.
\(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)=6c^2+2bc+3bc+b^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)-6c^2-2bc-3bc=b^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=b^2\) ( 1 )
Dễ thấy \(a^2c^2+2ac-6c⋮c\) ( 2 )
Gọi d là ƯC của c và \(a^2c^2+2ac-6c-5b+1\) , ta có :
\(\orbr{\begin{cases}c⋮d\\a^2c^2+2ac-6c-5b+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow c-a^2c^2+2ac-6c-5b+1⋮d\) ( 3 )
Từ ( 2 ) và ( 3 ) => 1 - 5b chia hết cho d
Đặt c = kd ; a2c2 + 2ac - 6c - 5b + 1 = td ( \(k;t\in Z\))
\(\Rightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=kd.td=ktd^2\) ( 4 )
Từ ( 1 ) và ( 4 ) => b2 = ktd2
\(\Rightarrow b⋮d\Rightarrow5b⋮d\). Mà 1 - 5b chia hết cho d
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> Đpcm
Sửa lại một tí
Chỗ ( 2 ) chỉnh dấu lại :)
( 3 ) \(c-a^2c^2-2ac+6c+5b-1⋮d\)
Từ ( 2 ) và ( 3 ) => 5b - 1 chia hết cho d
Từ ( 1 ) và ( 4 ) ... => 5b chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d => d = 1
=> Đpcm