HH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 6 2020
\(P=\frac{9a^2+b^2+1}{4}+\frac{1}{\left(6ab+1\right)^2}\ge\frac{6ab+1}{4}+\frac{1}{\left(6ab+1\right)^2}\)
\(P\ge\frac{6ab+1}{8}+\frac{6ab+1}{8}+\frac{1}{\left(6ab+1\right)^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(6ab+1\right)^2}{64\left(6ab+1\right)^2}}=\frac{3}{4}\)
\(P_{min}=\frac{3}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}9a^2=b^2\\\frac{6ab+1}{8}=\frac{1}{\left(6ab+1\right)^2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=3a\\ab=\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{\sqrt{18}}\\b=\frac{3}{\sqrt{18}}\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2023
1.
Trước hết bạn nhớ công thức:
$1^2+2^2+....+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (cách cm ở đây: https://hoc24.vn/cau-hoi/tinh-tongs-122232n2.83618073020)
Áp vào bài:
\(\lim\frac{1}{n^3}[1^2+2^2+....+(n-1)^2]=\lim \frac{1}{n^3}.\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\lim \frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}\)
\(=\lim \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}=\lim (\frac{n-1}{n}.\frac{2n-1}{6n})=\lim (1-\frac{1}{n})(\frac{1}{3}-\frac{1}{6n})\)
\(=1.\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2023
2.
\(\lim \frac{1}{n}\left[(x+\frac{a}{n})+(x+\frac{2a}{n})+...+(x.\frac{(n-1)a}{n}\right]\)
\(=\lim \frac{1}{n}\left[\underbrace{(x+x+...+x)}_{n-1}+\frac{a(1+2+...+n-1)}{n} \right]\)
\(=\lim \frac{1}{n}[(n-1)x+a(n-1)]=\lim \frac{n-1}{n}(x+a)=\lim (1-\frac{1}{n})(x+a)\)
\(=x+a\)
K
2
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
3 tháng 9 2023
\(P=\dfrac{a}{2b+3c}+\dfrac{b}{2c+3a}+\dfrac{c}{2a+3b}\left(a;b;c>0\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{a^2}{2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{2ac+3bc}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}\left(1\right)\)
Theo bất đẳng thức Cauchy :
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\a^2+c^2\ge2ac\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow P=\dfrac{a^2}{2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{2ac+3bc}\ge\dfrac{ab+bc+ca+2\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy \(Min\left(P\right)=\dfrac{3}{5}\left(tại.a=b=c\right)\)
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
4 tháng 9 2023
Bổ sung chứng minh Bất đẳng thức :
\(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)
Theo BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(\dfrac{a}{\sqrt[]{m}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt[]{n}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt[]{q}}\right)^2.\left[\left(\sqrt[]{m}\right)^2+\left(\sqrt[]{n}\right)^2+\left(\sqrt[]{q}\right)^2\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{q}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+q}\)
18 tháng 1 2018
Biến đổi: ʃ\(\int\dfrac{1dx}{cosx\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(cosx-sinx\right)}=\int\dfrac{\sqrt{2}dx}{cos^2x\left(1-tanx\right)}=\int\dfrac{\sqrt{2}d\left(tanx\right)}{1-tanx}=-\sqrt{2}\ln trituyetdoi\left(1-tanx\right)\)
https://www.youtube.com/channel/UCzeAuHrGhk8hUszunoNtayw
Luyện Thi THPT Quốc Gia miễn phí 100%