Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
giả sử : \(x+y+xy=-1\) \(\Rightarrow x+y+xy+1=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=0\rightarrow x+1=0\) hoặc \(y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-1\) hoặc \(y=-1\) ( trái giả thiết )
vậy nếu \(x\ne-1\) và \(y\ne-1\) thì \(x+y+xy\ne-1\)
Ta có:
\(1=\dfrac{2^2}{x}+\dfrac{5^2}{y}\ge\dfrac{\left(2+5\right)^2}{x+y}=\dfrac{49}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge49\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(14;35\right)\)
Giải:
Ta có: x, y, z >0
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(x+y\right)\ge2\sqrt{xy}\) và \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
=> \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)
<=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (*)
Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\) (1)
\(\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (2)
\(\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+z+y+z}=\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (3)
Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta có
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\) (đpcm)
Do \(x;y>0\) ta biến đổi tương đương:
\(\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2}{\dfrac{x+y}{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{2}\ge\dfrac{2xy}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
BĐT\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x-1}\right)^3+\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+\left(\frac{1}{y}\right)^3\ge3\left(\frac{1}{x-1}+\frac{x-1}{y}+\frac{1}{y}-2\right)\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x-1};\frac{x-1}{y};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b;c\right)\)
BĐT cần cm \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\left(a+b+c-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+1+1\right)+\left(b^3+1+1\right)+\left(c^3+1+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)
Đúng theo AM-GM --> đpcm
Áp dụng bđt AM - GM:
\(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z;2x+2y+2z\ge6\sqrt[3]{xyz}=6\).
Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
Lời giải:
Sử dụng phép biến đổi tương đương. Với \(x,y\geq 0\):
\(\frac{x}{x+1}\geq \frac{y}{y+1}\)
\(\Leftrightarrow x(y+1)\geq y(x+1)\)
\(\Leftrightarrow x\geq y\)
Điều này luôn đúng theo điều kiện đề bài.
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\)