Question

[Lê Đức Hoàng Sơn]

CMR nếu phương trình \(x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0\)có nghiệm thì \(5\left(a^2+b^2\right)\ge4\).

Answer 1

[Lầy Văn Lội]

nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình ,chia cả 2 vế của phương trình cho x² ta được:

\(x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b=0\)

đặt \(m=x+\frac{1}{x}\),phương trình trở thành \(m^2-2+am+b=0\Leftrightarrow m^2-2=-am-b\Leftrightarrow\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\)

Áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky :\(\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\le\left(m^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(m^2-2\right)^2}{m^2+1}=\frac{m^4-4m^2+4}{m^2+1}=m^2-5+\frac{9}{m^2+1}\)

\(=m^2+1+\frac{25}{m^2+1}-\frac{16}{m^2+1}-6\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(m^2+1+\frac{25}{m^2+1}\ge10\)

\(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{m^2+1}\)

lại có \(m^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)(AM-GM)

nên \(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}\) 

đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-\frac{4}{5}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}}\)