Question

[than thanh]

cm voi moi so tu nhien n khac 0 thi pt x^2+2(n^2-1)x+1-6n^3-13n^2-6n=0 ko co nghiem huu ti

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\Delta'=\left(n^2-1\right)^2+\left(6n^3+13n^2+6n-1\right)=\left(n+1\right)\left(n^3-n^2-n+1\right)+\left(n+1\right)\left(6n^2+7n-1\right)\)

\(\Rightarrow\Delta'=\left(n+1\right)\left(n^3+5n^2+6n\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Phương trình có nghiệm hữu tỉ khi và chỉ khi \(\Delta'\) là số chính phương

Mà \(\Delta'=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

Đặt \(n^2+3n=a\ge4\Rightarrow\Delta'=a\left(a+2\right)=a^2+2a\)

Ta có \(a^2+2a>a^2\) do \(2a>0\)

\(a^2+2a=\left(a+1\right)^2-1< \left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2< \Delta'=a^2+2a< \left(a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta'\) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên \(\Delta'\) không thể là số chính phương

\(\Rightarrow\) phương trình không có nghiệm hữu tỉ với mọi \(n>0\)