Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(\frac{a^5}{b^3}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^5}{b^3}.ab}=2.\frac{a^3}{b}\)
Tương tự và cộng lại:
\(\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)(1)
Lại có: \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
Vậy từ (1) ta có đpcm.
2.
\(\frac{a^5}{bc}+abc\ge2\sqrt{\frac{a^5}{bc}.abc}=2a^3\)
Tương tự và cộng lại
\(A=\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)-3abc\ge a^3+b^3+c^3+3abc-3abc\)
\(\Rightarrow A\ge a^3+b^3+c^3=VP\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}=c\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge2c\)
Tương tự ....
sử dụng hệ quả bun-nhi-a ta có:
VT\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)}\)
mà từ giả thiết , kết hợp với bất đẳng thức , ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)=>\(a+b+c\ge9\)
mặt khác: ab+bc+ca\(\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
=> VT\(\ge\)\(\frac{3\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c+3\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\frac{4\left(a+b+c\right)}{3}}=\frac{a+b+c}{4}\)(dpcm)
a) Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
b) \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
CMTT như câu a ta đc :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b;\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a;\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Do đó : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
a. Áp dung BĐT AM-GM:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
b. Áp dung BĐT AM-GM:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Xảy ra đẳng thức khi \(a=b=c>0\)
ta có\(\frac{ab}{a+b}=\frac{4ab}{4\left(a+b\right)}=\frac{2ab+2ab}{4\left(a+b\right)}\le\frac{a^2+b^2+2ab}{4\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\)
CMTT ta được \(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}và\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\)
=>\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+b+c+c+a}{4}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Áp dụng BĐT : \(x^2+y^2\ge2xy\) ( xảy ra đẳng thức khi \(x=y\) ) , ta có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2.\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=2.\frac{a}{c}.\) Tương tự : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2.\frac{b}{a};\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2.\frac{c}{b}\)
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên :
\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}.\)
cách 1:Áp dụng BĐT C-S ta có:
+)\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{4}\ge\frac{ab}{a+b}\left(1\right)\)
+)\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{4}\ge\frac{bc}{b+c}\left(2\right)\)
+)\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Leftrightarrow\frac{c+a}{4}\ge\frac{ca}{c+a}\left(3\right)\)
Cộng 3 vế (1);(2) và (3) ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
cách 2:Bđt <=> 1/(ac+bc) + 1/(ab+ac) + 1/ (ab+bc) <= 1/(2ab) +
1/(2bc) +1/(2ca)
Áp dụng bđt 1/x+1/y>=4/(x+y)(x,y>0) ta có:
1/(2ab)+1/(2ac) >= 2/(ab+ac)
1/(2ab)+1/(2bc) >= 2/(ab+bc)
1/(2ac)+1/(2bc) >= 2/(ac+bc).
Cộng vào có đpcm. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c